Пределы Ø Числовая последовательность Предел числовой последовательности Ø

Пределы Ø Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Ø Функция действительного аргумента. Предел функции. Ø Односторонние пределы. Ø Бесконечно большие и бесконечно малые функции Ø Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций. Ø Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Ø Основные теоремы о пределах. Ø Признаки существования пределов. Ø Первый и второй замечательные пределы. Ø Эквивалентные бесконечно малые и их применение. Ø Непрерывные функции. Точки разрыва функции и их классификация.

Числовая последовательность Числовой последовательностью называется функция заданная на множестве натуральных чисел -общий или n-ый член числовой последовательности

Предел числовой последовательности Число называется пределом последовательности , если В этом случае записывают, что или при Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае расходящейся - окрестность точки

Примеры 1. 2.

Функции действительного аргумента Пусть X и Y – некоторые непустые множества Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x), то есть Множество X – область определения функции Y – множество значений функции Если элементы множеств X и Y являются действительными числами, то функция f называется числовой или функцией действительного аргумента

Функции действительного аргумента Основными элементарными функциями являются: степенная функция показательная функция логарифмическая функция тригонометрические функции обратные тригонометрические функции Способы задания функции: аналитический, табличный, графический, словесный

Предел функции Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 Число А называется пределом функции в точке x 0 или при , если будет выполнено В этом случае записывают, что .

Предел функции Равенство означает, что если для любой - окрестности точки А найдется такая окрестность точки x 0, что для всех из этой - окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в - окрестности точки А

Предел функции Пусть функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Число А называется пределом функции при В этом случае записывают, что , если.

Односторонние пределы вводят в рассмотрение, когда важен способ приближения x к x 0 Число А 1 называется пределом функции y=f(x) в точке x 0 слева , если Число А 2 называется пределом функции y=f(x) в точке x 0 справа , если

Односторонние пределы

Бесконечно большие функции Функция y=f(x) называется бесконечно большой при , если В этом случае записывают, что .

Бесконечно малые функции Функция y=f(x) называется бесконечно малой при , если В этом случае записывают, что .

Свойства бесконечно малых функций - бесконечно малые функции - ограниченная функция

Теорема о связи б. б. ф. и б. м. ф. Если функция является бесконечно малой при ( )и , то функция является бесконечно большой при ( ) Если функция y=f(x) является бесконечно большой при ( ), то функция является бесконечно малой при ( )

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Если число А является пределом функции y=f(x) при ( )и - бесконечно малая функция при ( ), то функцию f(x) в окрестности точки x 0 можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции ( ) Если функцию y=f(x) в окрестности точки x 0 можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции при ( ), то число А является пределом функции f(x) при ( )

Основные теоремы о пределах Пусть f(x) и g(x) – функции, для которых существуют пределы Аналогично при Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов Функция может иметь только один предел при

Основные теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах 1) 2)

Признаки существования пределов о пределе промежуточной функции Если функция f(x) заключена между двумя функциями и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу

Признаки существования пределов о пределе монотонной функции Всякая монотонно возрастающая или монотонно убывающая и ограниченная функция имеет предел при Эта теорема справедлива и для последовательности

Замечательные пределы

Замечательные пределы

Эквивалентные бесконечно малые - бесконечно малые функции одинакового порядка ~ при

Основные теоремы о пределах 1) -бесконечно малая более высокого порядка малости, чем 2) ~ x при 3) ~ x при

Эквивалентные бесконечно малые о замене бесконечно малой на эквивалентную Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой ~ ~ при

Эквивалентные бесконечно малые sin x ~ x, при sin 3 x ~3 x, при tg 6 x ~ 6 x, при tg x ~ x, при

Таблица эквивалентности

Определение непрерывности функции y=f(x) в точке x 0 Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если: 1. эта функция определена в точке x 0 и ее окрестности ; 2. 2. существует 3. 3. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если: 1. эта функция определена в точке x 0 и ее окрестности ; 2.

Определение непрерывности функции y=f(x)на интервале (а, b) Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала тригонометрические С – постоянная - степенная - показательная - логарифмическая

Точки разрыва функции Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции

Точки разрыва Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) I рода, если существуют конечные пределы причем не все 3 числа равны между собой Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода, если по крайней мере один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен

Точки устранимого разрыва Точка x=x 0 называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если существуют конечные пределы причем y Функция имеет устранимый разрыв в точке 0 x

Точки скачка Точка x=x 0 называется точкой скачка функции y=f(x), если существуют конечные пределы причем y=f(x) в точке x 0 , где y Функция 2 имеет скачок в точке 2 x -1 - скачок функции 5 - скачок

Точки разрыва II рода Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода, если по крайней мере один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен Функция y имеет разрыв II рода в точке 2 x

Свойства непрерывных функций непрерывная функция в точке x 0 y=f(x); y=g(x) непрерывные функции в точке x 0 непрерывная функция в точке x 0

Свойства функций непрерывных на отрезке Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки , принадлежащие отрезку такие, что для любых точек из отрезка выполняется неравенство M m - наименьшее значение m - наибольшее значение M

Свойства функций непрерывных на отрезке Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на нём, т. е. существует число такое, что для всех точек x из отрезка

Свойства функций непрерывных на отрезке Если функция непрерывна на отрезке , и принимает на концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. B C f(b) A f(c) f(a) a c b

Свойства функций непрерывных на отрезке Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в ноль, то есть f(c) = 0. c