Скачать презентацию ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Скачать презентацию ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

пределы.ppt

  • Количество слайдов: 65

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Введем понятие предела функции в точке и на бесконечности. Введем понятие предела функции в точке и на бесконечности.

Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента к числу х0, т. е. х→х0.

Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x 1, x 2, …xn, …}={xn}, общий член которой Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x 1, x 2, …xn, …}={xn}, общий член которой xn неограниченно близко приближается к числу х0, т. е. стремится xn→х0.

При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x 1), f(x 2), …f(xn), …} При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x 1), f(x 2), …f(xn), …} = {f(xn)}.

у А 0 х0 х у А 0 х0 х

Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х0, если Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, стремящейся к х0, т. е. xn→х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} стремится к числу А, т. е. f(xn)→A

Предел в точке обозначается: Предел в точке обозначается:

Существуют также односторонние пределы в точке - пределы слева и справа, когда значения аргумента Существуют также односторонние пределы в точке - пределы слева и справа, когда значения аргумента приближаются к точке х=х0 со стороны больших или меньших значений:

Теорема. Для того чтобы функция у = f(х) имела предел в точке х=х0, необходимо Теорема. Для того чтобы функция у = f(х) имела предел в точке х=х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой правый и левый пределы, которые и определяют предел функции в точке:

Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до бесконечности. Дадим определение.

Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х→∞, если для Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х→∞, если для любой последовательности значений аргумента, стремящейся к бесконечности, т. е. xn→∞, соответствующая последовательность значений функции стремится к числу А, т. е. f(xn)→A.

Предел на бесконечности обозначается: Предел на бесконечности обозначается:

Отметим, что функция может иметь пределы как на +∞, так и на -∞: Отметим, что функция может иметь пределы как на +∞, так и на -∞:

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

где u=u(x)→ 0 при x→ 0 где u=u(x)→ 0 при x→ 0

Следствия из первого замечательного предела: Следствия из первого замечательного предела:

Второй замечательный предел: Второй замечательный предел:

где е 2. 73…-натуральное число, а logex = lnx называется натуральным логарифмом. где е 2. 73…-натуральное число, а logex = lnx называется натуральным логарифмом.

Следствия из второго замечательного предела: Следствия из второго замечательного предела:

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Функция называется бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если Функция называется бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если её пределы равны нулю:

Функция называется бесконечно большой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если Функция называется бесконечно большой в точке х=х0 или на бесконечности при х , если её пределы равны бесконечности:

Следует отметить, что одна и та же функция может быть одновременно бесконечно малой или Следует отметить, что одна и та же функция может быть одновременно бесконечно малой или бесконечно большой в разных точках. На рисунке функция является бесконечно малой в точке х=1 и при , а в точке х=0 эта функция является бесконечно большой.

у 0 1 х у 0 1 х

Теорема о связи бесконечно малых или бесконечно больших функций: Если функция является бесконечно малой Теорема о связи бесконечно малых или бесконечно больших функций: Если функция является бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х , то функция

- является бесконечно большой и наоборот, если бесконечно большая функция, то бесконечно малая функция. - является бесконечно большой и наоборот, если бесконечно большая функция, то бесконечно малая функция.

Пример. Функция является бесконечно малой в точке х=2, т. к Пример. Функция является бесконечно малой в точке х=2, т. к

а функция является бесконечно является большой в точке х=2, т. к. а функция является бесконечно является большой в точке х=2, т. к.

Две бесконечно малые функции в точке х=х0 или на бесконечности при х называются эквивалентными, Две бесконечно малые функции в точке х=х0 или на бесконечности при х называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице, т. е.

При нахождении пределов бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные. При нахождении пределов бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные.

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

1)sinu~ u; tgu~ u; arcsinu~ u; arctgu~u, 2) еu-1~u; 3) au-1~u lna; 4) ln(1+u) 1)sinu~ u; tgu~ u; arcsinu~ u; arctgu~u, 2) еu-1~u; 3) au-1~u lna; 4) ln(1+u) ~u; 5) (u+1) ~ u; 6) (1 -cosu)~ , где u=u(x)→ 0 –бесконечно малая функция;

Теорема об арифметических операциях над пределами: Если функции f(x) и φ(х) имеют конечные пределы Теорема об арифметических операциях над пределами: Если функции f(x) и φ(х) имеют конечные пределы в точке х=х0 или на бесконечности при х , то

при условии при условии

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

При вычислении пределов необходимо выделить случаи, когда функция определена или неопределенна в предельной точке. При вычислении пределов необходимо выделить случаи, когда функция определена или неопределенна в предельной точке.

Если функция определена в предельной точке х=х0, то вычисление предела сводится к вычислению частного Если функция определена в предельной точке х=х0, то вычисление предела сводится к вычислению частного значения функции в этой точке путем подстановки в неё значения аргумента, т. е.

Пример. Пример.

Если функция неопределенна в предельной точке х=х0, то для характерных неопределенностей типа: Если функция неопределенна в предельной точке х=х0, то для характерных неопределенностей типа:

имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей. имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей.

Неопределенность типа: Неопределенность типа:

Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и его следствия, а также можно провести замену эквивалентных бесконечно малых функций.

Пример. sin 2 x=(sinx)2~x 2; arctg 3 x~3 x; (e 6 x-1) ~6 x Пример. sin 2 x=(sinx)2~x 2; arctg 3 x~3 x; (e 6 x-1) ~6 x =

Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить и сократить сомножитель, стремящийся к 0.

Пример. Пример.

Неопределенность типа Неопределенность типа

раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены бесконечно большой переменной х→ на новую бесконечно малую переменную

Пример. Пример.

Неопределенности типа: Неопределенности типа:

путем преобразования приводятся к неопределенностям вида: путем преобразования приводятся к неопределенностям вида:

Примеры. Примеры.

Неопределенность типа: Неопределенность типа:

раскрывается с помощью второго замечательного предела. раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Пример. Пример.