Предел функции в точке и на бесконечности

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Предел функции в точке n n Определение 1: Число А называется пределом функции у=f(x) в точке х=а, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех х≠а из неравенства |x-a|<δ будет следовать неравенство |f(x)-A|<ε. Обозначения: или Символическая запись определения: Определение 2: Число А называется пределом функции у=f(x) в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности аргументов, последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Геометрический смысл предела функции в точке

Предел функции на бесконечности n n n Определение: Число А называется пределом функции у=f(x) при х→∞, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число М, зависящее от ε, что для всех х, для которых верно |x|>М, выполняется также неравенство |f(x)-A|<ε Символическая запись определения: Аналогично можно определить бесконечный предел функции в точке и на бесконечности:

Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Виды функций (по значению предела) n Функция f(x) называется бесконечно малой величиной при х→а (х→∞), если n Если функция имеет бесконечный предел в точке (или на бесконечности), то ее называют бесконечно большой в этой точке (или на бесконечности).

Теоремы о пределах n n n Предел постоянной Если то Предел композиции функций (сложной функции): если то

Замечательные пределы n Первый замечательный предел: n Второй замечательный предел: n где е – иррациональное число, математическая константа – число Эйлера или число Непера, е≈2, 71828459…

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин n Если α(х) и β(х) - бесконечно малые величины при х→а (х→∞), то бесконечно малыми будут также величины n Если f(x) – бесконечно большая величина при х→а (х→∞), то будут бесконечно большими величинами n Если α(х) - бесконечно малая величина при х→а (х→∞), то - бесконечно большая при х→а (х→∞); если f(x) – бесконечно большая величина при х→а (х→∞), то - бесконечно малая при х→а (х→∞).

Эквивалентные бесконечно малые n Две бесконечно малые величины α(х) и β(х) при х→а (х→∞) называются эквивалентными, если Обозначение: α(х)~β(х). При х→ 0 эквивалентны бесконечно малые: sin x ~ x; arcsin x ~ x; ln (1+x) ~ x; tg x ~ x; arctg x ~ x; loga(1+x)~ x/lna (tg x - sin x) ~ (x 3/2); (ex -1) ~ x; (1+x)m ~ (1+mx) 1 - cos x ~ (х2/2); (ax-1) ~ xlna; n n Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Скачать презентацию Предел функции в точке и на бесконечности

Предел функции.ppt

Количество слайдов: 10