Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Процес формування системи знань В фізиці В математиці (та інших природничих науках) Аксіома Постулати, принципи, закони, припущення, Теорема Закони Висновки, результати ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 1
закон Клапейрона—Менделєєва. Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних — закон Гей-Люссака — закон Шарля — закон Бойля-Маріотта Постулати: постулати Бора, Принцип Паулі, принцип невизначеності в квантовій механіці, закони Ньютона в класичній механіці ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 2
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Припущення-аксіоми Коригування аксіом Закони-теореми Висновки, результати Порівняння з експериментом ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 Експеримент 3
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних 1. Перша практична задача науковців – визначення невідомих функціональних залежностей X 1, X 2, … X n f -? y 1 , y 2 , … y n f Y= (X 1, X 2, … Xn) - ? 1. Друга практична задача науковців – непрямі вимірювання та визначення і управління іх похибками f – відома, знайти похибку y, коли відома похибка визначення х Приклад, тут y це I, x – це R, U – відомий параметр ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 4
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних або відомі треба знайти . U=1 В абсолютна похибка приладу для вимірювання ± 0. 5 Ом Нехай опір дорівнює 1000 Ом Тоді відносна похибка визначення опору ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 5
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних або U=1 В відомі або ? абсолютна похибка приладу для вимірювання ± 0. 5 Ом Нехай опір дорівнює 1000 Ом I=1 м. А. Тоді відносна похибка визначення опору R=999. 5 Ом . I ≈ 1, 0005002 м. А R=1000. 5 Ом I ≈ 0, 9995002 м. А R=0. 8 Ом R=0. 3 Ом I ≈ 3, 33 А, R=1. 3 Ом I ≈ 0, 77 А R=0. 3 Ом R=-0. 2 Ом При R 0 I ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 6
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 7
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних припускають те, що відносні похибки невеликі (тобто середнє відхилення від математичного сподівання мале) функцію y= f(x) випадкової величини x=х0+Δx (де х0 - математичне сподівання величини, Δx – її відхилення від х0) можна розкласти в ряд Тейлора з точністю до лінійного члена: y≈ f(x 0)+df/dx∙Δx З іншої сторони y=y 0+Δy. В цьому наближенні Δy=df/dx∙Δx, y 0=f(x 0) Для функції багатьох незалежних випадкових змінних хi (i=1…n) в ряду Тейлора і Δy з’являються частинні похідні і для дисперсії величини y маємо формулу: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 8
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 9
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Якщо функціональна залежність y=f(x) залежить від параметрів a 1, a 2, . . . ak, тобто f(x)≡f(x, a 1, a 2, . . . ak), тоді для визначення параметрів використовують умову мінімізації суми квадратів відхилень експериментально отриманих величин від їх теоретичних очікуваних значень: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 10
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Для розв’язку рівняння для Q відносно параметрів необхідно взяти похідні по кожному з параметрів функціонала суми квадратів відхилень і прирівняти їх нулю. Утворюється система рівнянь - в загальному випадку нелінійних рівнянь: Отримуємо формули Можна представити цю систему рівнянь і в такому вигляді: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 11
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Для розв’язку рівняння для Q відносно параметрів необхідно взяти похідні по кожному з параметрів функціонала суми квадратів відхилень і прирівняти їх нулю. Утворюється система рівнянь - в загальному випадку нелінійних рівнянь: Отримуємо формули Можна представити цю систему рівнянь і в такому вигляді: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 12
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Інший метод оцінки параметрів функціональної залежності (був розроблений Фішером) базується на принципі максимальної правдоподібності, який може бути сформований таким чином: «найкращим описом досліджуваного явища є те, при якому максимальна ймовірність отримати фактично виміряні значення величин, які спостерігаються» . Yn, k Yn-1, k Y 2, k X 1 X 2 Xn-1 Xn ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 13
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Нехай в результаті серії вимірювань отримано для n значень сумарну кількість вимірювань величини . Результати при відносяться до точки ( ), тобто для кожної точки іде повторення вимірювання раз. Yn, k Yn-1, k Y 2, k X 1 X 2 Xn-1 Xn ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 14
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Припустимо, що залежність описується кривою Імовірність появи значення і дисперсії в кожній точці розкиду значень залежить від , де в цій точці навколо середнього значення в цій точці Виходячи із незалежності величин розглядаємо імовірність появи набору всіх експериментальних точок як добуток складових ймовірностей, вона називається функцією правдоподібності L: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 15
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних За оцінку вектора параметрів вибирається точка (набір величин ), в якій функція правдоподібності набуває параметрів максимального значення. Треба знайти максимум цієї функції при варіації вектора параметрів . Це і є в своїй суті метод максимальної правдоподібності. Розглянемо випадок, коли значення розподілені навколо по нормальному закону - ймовірність появи ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 16
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Множником при експоненті можна знехтувати, оскільки він виступає константою по відношенню до вектора параметрів , який варіюється і виступає тут аргументом. А значення константи не вплине на пошук максимуму L. Умова максимуму значення експоненти з негативним показником – є мінімум її показника. Тому приходимо до умови, при якій забезпечується максимум функції правдоподібності: - повинно бути мінімальним. ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 17
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Якщо ми маємо випадок, коли всі однакові, ми одразу приходимо до методу найменших квадратів: мінімізація суми квадратів відхилень для всіх експериментальних точок. мінімізація метод найменших квадратів з урахуванням вагових множників метод найменших квадратів випливає з принципу максимальної правдоподібності тільки при умові, що результати вимірювань розподілені за нормальним законом. ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 18
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Видно, що чим більша похибка в точці вимірювання i, тим менший внесок в загальну суму відповідного доданка і навпаки. З цього можна зробити висновок, що основний вплив на визначення параметрів функції будуть мати дані, виміряні з більшою точністю. Для зручності іноді вводять також нормовані статистичні вагові множники: , де визначається з умови нормування: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 19
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних 1 2 3 Критерій в загальному випадку записується у вигляді формули: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 20
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних Критерій в загальному випадку записується у вигляді формули: Або у нормованому вигляді - на одну ступінь вільності. ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 21
Похибки непрямих вимірювань. Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних даних на одну ступінь вільності Вимога для непоганого опису експериментальних даних теоретичною кривою Коли дисперсія формула для величини дорівнює її середньому значенню , модифікується в більш спрощену: ВІВР, Безшийко О. А. , лекція 5 22
Скачать презентацию Похибки непрямих вимірювань Оцінка параметрів функціональних залежностей експериментальних
L5.ppt