ПОВТОРЕНИЕ 01 Итак, ответьте на вопросы:

ПОВТОРЕНИЕ

Итак, ответьте на вопросы: Дайте определение числовой последовательности. Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? (приведите примеры) Дайте определение ограниченной сверху и снизу числовой последовательности. (приведите примеры) Какую последовательность называют возрастающей и убывающей? (приведите примеры)

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки: 1; 4; 7; 10; 13; … В порядке возрастания положительные нечетные числа 10; 19; 37; 73; 145; … В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 6; 8; 16; 18; 36; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; Увеличение на 3 раза Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза 1; 3; 5; 7; 9; … 5; 10; 15; 20; 25; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на

Последовательности заданы формулами: a n =(-1) n n 2 a n =n 4 a n =n+4 a n =-n- 2 a n =2 n -5 a n =3 n -1 Впишите пропущенные члены последовательности: 1; ___; 81; ___; 625; … 5; ___; 9; … ___; 3; 11; ___; -1; 4; ___; -25; … ___; -4 ; ___; -7; … 2; 8; ___; … 16 256 6 7 8 -3 -1 27 -9 16 -3 -5 —

Определение 1. Функцию вида у= f (х) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у 1 , у 2 , у 3 , …, у n , …, или (у n ). (а(а nn ) – последовательность аа 1 1 ; а; а 2 2 ; а; а 3 3 ; …. а nn — — члены последовательности. Последовательность

1. Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …. Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39 , …. Пример 3. Последовательность четных чисел: 2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 , ….

2. Аналитический способ. Любой n -й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2 n. Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n². Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, …, С, … Пример 4. Последовательность у = n² — 3 n – 2, -2, 0, 4, 10, … Пример 5. Последовательность у = 2 ⁿ 2, 2², 2³, …, 2 ⁿ , …

3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n -й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1. a 1 = 3 a n+1 = aa 11 =3 a 3 3 = 9= 9 2 2 = 81 aa 2 2 = 3= 3 2 2 = 9 a 4 4 = 81 2 2 = 6561 Пример 2. Арифметическая прогрессия а n +1 = а n + d , d — разность арифметической прогрессии. Пример 3. Геометрическая прогрессия b n +1 = b n q , q – знаменатель геометрической прогрессии.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи — итальянский математик. (родился около 1170 — умер после 1228), Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно. 1 1 5 2 25 n n n x

Определение 2. Последовательность (у n ), называют ограниченной сверху , если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность (у n ) ограничена сверху , если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности. Например : -1, -4, -9, -16, …, — n² , … Верхняя граница — —

Определение 3. Последовательность (у n ), называют ограниченной снизу , если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность (у n ) ограничена снизу , если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m. Число m называют верхней границей последовательности. Например : 1, 4, 9, 16, …, n² , … Нижняя граница —

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится. У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится. 03 57 913 x 111 x

Рассмотрим две последовательности: 614 1 51 , . . . , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1: )( n х n , . . . ; 12, . . . , 9, 7, 5, 3, 1: )(ny n

Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а- r , а+ r ) называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности. Пример: (5, 98, 6, 02)Определение

Укажите окрестность точки а радиуса r в виде интервала, если: а) а = 0 r = 0, 1 b ) a = -3 r = 0, 5 в) а = 2 r = 1 г) а = 0, 2 r = 0, 3(-0, 1, 0, 1) (-3, 5, -2, 5) (1, 3) (-0, 1, 0, 5)

Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал а) (1; 3) б) (-0, 2; 0, 2) г) (-7; -5)в) (2, 1; 2, 3) а = 2 r = 1 а = 0 r = 0, 2 а = 2, 2 r = 0, 1 а = -6 r =

Определение 2 Число b называют пределом последовательности (у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут и читают: by n илиby n n lim

Чему равен предел данной последовательности? , . . . 1 , . . . , 51 , 41 , 31 , 21 , 1 n, . . . 2 1 , . . . , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 , 1 n Вывод: 0 1 lim nn сс n lim Вывод: 1, 0 lim qеслиq n n

Свойства 1) Предел суммы равен сумме пределов n n nn n yxyx limlim)(lim 2) Предел произведения равен произведению пределов 4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела 3) Предел частного равен частному от пределов n nn n yxyx limlim)(lim nn nn n n ny x lim lim n n xkkx lim)(lim

Внимание! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.

Домашнее задание 24. 14 24. 15 24. 17 24. 18 24.