Последовательные испытания (схема Бернулли) § 1. Определение схемы Бернулли Схема Бернулли – это последовательность испытаний, для кот. выполнены след. условия: 1) испытания независимые; 2) в каждом испытании может наступить или успех (У), или неудача (Н); 3) Для всех испытаний вероятность успеха Р(У)=р – одна и та же. § 2. Формула Бернулли Теорема. Обозначим Рn(m)= P{появление m успехов в n испыт-х}. Тогда Рn(m)= Сnm pm qn-m , где m=0, 1, …, n.
Док-во. 1. n=3; m=2; { УУУ}, { УУН}, {УНУ }, { НУУ}, { УНН}, {НУН }, { ННУ}, {ННН} –исходы послед-ти 3 -х испыт-й. В={появление двух успехов в трех испыт-х }; Р(В)=Р 3(2)=? ; В= { УУН} + {УНУ } + { НУУ}, Р { УУН} =Р(У) Р(Н) = р р q=p 2 q; Р { УНУ} =Р(У) Р(H) Р(У) = р q p=p 2 q; Р { HУУ} = Р(Н) Р(У)=q р р =p 2 q; P(В)=P({ УУН}+ {УНУ }+ { НУУ} )= P{ УУН}+P{УНУ }+ P{НУУ} = 3 p 2 q;
Пр. 1 • Каждый из 5 экзаменов студент сдает с вер. 0, 7. Найти вер. того, что он сдаст а) 4 экзамена; б) 5 экзаменов; в) не меньше 4 -х; n=5; p=0, 7; q=0, 3; а) P 5(4) = C 54 p 4 q = 5 (0, 7)4 0, 3 ≈ 0, 36; б) P 5(5) = C 55 p 5 = 1 (0, 7)5 ≈ 0, 168; в) P 5(4) + P 5(5) ≈ 0, 528;
§ 3. Наивероятнейшее число успехов в n испыт-х Бернулли Теорема • Если число np+p - не целое, то тогда наивероятнейшее число успехов m 0=[np+p]. • Если число np+p - целое, то тогда будет два наивероятнейших числа: m 01=np+p; m 02= m 01 -1= np+p-1=np- q ; Пр. 1 Ежедневно в течении года спутник передает на Землю сведения об облачности. Из-за помех в канале связи правильный прием сообщения со спутника осуществляется с вероятностью 0, 95. A={ правильный прием сообщения со спутника} – У n =365, p=0, 95, q=1 -0, 95=0, 05; np+p =0, 95*366=347, 7 m 0=[np+p]=[347, 7]=347.
. § 4 Приближенные формулы при больших n. 1. Приближенная формула для Рn(m). n , 0 <р <1; При при больших n справедлива след. приближенная формула функция Гаусса
. Пр. 1. В данной местности летом в среднем 80 % солнечных дней. Какова вер. того, что из 90 летних дней солнечными будут 65 дней? Решение. n = 90; p=0, 8; q =0, 2; m= 65;
2. Приближенная формула для Рn(m) при больших n и малых р • При при больших n и малых р справедлива приближенная формула
3. Приближенная формула для Рn(m 1, m 2) • Обозначим Pn(m 1, m 2 )= Pn(m 1 ≤ m ≤m 2) справедлива приближенная формула
Пр. 1 При социологических опросах граждан каждый человек независимо от других может дать неискрен. ответ с вер. 0, 2. опрошено 22500 человек. Найти вер. того, что число неискр. ответов не превзойдет 4620. Решение n =22500; p= 0, 2; q =0, 8; m 1=0; m 2=4620; np= 22500*0, 2 =4500; P 22500(0, 4620)= P 22500(0≤ 4620)≈ Ф(х2)- Ф(х1); P 22500(0, 4620) ≈ Ф(2)-Ф(-75)= Ф(2)+Ф(75) ≈ 0, 4772+0, 5 =0, 9772
Скачать презентацию Последовательные испытания схема Бернулли 1 Определение схемы
Лекция 5 Последовательные испытания.ppt