Понятие предела функции y=f(x) связано с понятием

Скачать презентацию Понятие предела функции y=f(x)  связано с понятием Скачать презентацию Понятие предела функции y=f(x) связано с понятием

6.2..ppt

  • Размер: 1.0 Мб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 22

Описание презентации Понятие предела функции y=f(x) связано с понятием по слайдам

Понятие предела функции y=f(x)  связано с понятием предела числовой последовательности )(nfan У числовойПонятие предела функции y=f(x) связано с понятием предела числовой последовательности )(nfan У числовой последовательности переменная n, возрастая, принимает только целые значения, а у функции переменная х может принимать любые значения.

 Axf )( Axf x  )(lim. Число А называется пределом функции у= f(x) Axf )( Axf x )(lim. Число А называется пределом функции у= f(x) , при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε >0 , найдется такое положительное число S , что при всех |x|>S , выполняется неравенство:

При достаточно больших по модулю значениях  х ,  значения функции f(x) оченьПри достаточно больших по модулю значениях х , значения функции f(x) очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было).

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство равносильно двойному неравенству Axf )( Axf. A)( чтоРассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство равносильно двойному неравенству Axf )( Axf. A)( что соответствует расположению части графика у= f(x) в полосе шириной 2 ε.

xy. A A A S )(xfy xy. A A A S )(xfy

Т. е. число А есть предел функции Ay. A какой бы узкой она неТ. е. число А есть предел функции Ay. A какой бы узкой она не была. если для любого, сколь угодно малого числа ε >0 , найдется такое число S , что при всех )(xfy соответствующие ординаты графика функции у= f(x) будут заключены в полосе Sx

Доказать, что 515 lim  xx x Доказать, что 515 lim xx x

Т. е. для любого ε  0 существует число  01 S Такое, Т. е. для любого ε >0 существует число 01 S Такое, что для всех х , таких что | x|>S , выполняется неравенство: 5)(xf 5 15 lim)(lim x x xf xx x 1 1 x 51 5 x. Для любого ε >0 515 xx

Рассмотренное определение предела при  x  стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание xРассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т. е. при xx

В случае, когда неравенство. Axf)( должно выполняться при всех  x  таких, чтоВ случае, когда неравенство. Axf)( должно выполняться при всех x таких, что х >s. x В случае, когда неравенство Axf)( должно выполняться при всех x таких, что х <-s. x Перейдем к понятию предела функции в точке. Рассмотрим некоторую функцию у= f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, может быть, самой этой точки.

Axf)( Axfxx )(lim 0 Число А называется пределом функции у= f(x) , при х→Axf)( Axfxx )(lim 0 Число А называется пределом функции у= f(x) , при х→ x 0 , ( или в точке x 0 ) если для любого, сколь угодно малого числа ε >0 , найдется такое положительное число δ , что при всех |x — x 0 |< δ , выполняется неравенство:

При всех значениях х,  достаточно близких к  x 0 ,  значенияПри всех значениях х, достаточно близких к x 0 , значения функции у= f(x) очень мало отличаются по абсолютной величине от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было).

Неравенство равносильно двойному неравенству Axf )( Axf. A)( Аналогично неравенство 0 xx равносильно неравенствуНеравенство равносильно двойному неравенству Axf )( Axf. A)( Аналогично неравенство 0 xx равносильно неравенству 00 xxx Это соответствует расположению части графика в полосе шириной 2 ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x 0. )(xfy

Т. е. число А есть предел функции  при х → x 0 ,Т. е. число А есть предел функции при х → x 0 , если для любого, сколь угодно малого числа)(xfy 0 какой бы узкой она не была. Ay. Aнайдется такая δ –окрестность точки x 0 , что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе )(xfy

x y )(xfy A 0 x A A 0 x 0 x x y )(xfy A 0 x A A 0 x 0 x

Доказать, что 5)32(lim 1  x x Доказать, что 5)32(lim 1 x x

Пусть ε = 0. 11. 0532 x Тогда неравенство  будет выполняться при Пусть ε = 0. 11. 0532 x Тогда неравенство будет выполняться при 05. 01 x Аналогично, при ε = 0. 01 Неравенство будет выполняться при 005. 01 x

Т. е. для любого ε  0 неравенство выполняется при 532 x 2 1Т. е. для любого ε >0 неравенство выполняется при 532 x 2 1 x Т. е. для любого ε >0 существует число 0 2 что для всех х, таких что | x -1 |< δ , выполняется неравенство: 5)(xf 5)32(lim)(lim 11 xxf xx

Определение предела не требует существования функции в самой точке x 0 ,  т.Определение предела не требует существования функции в самой точке x 0 , т. к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x 0. Т. е. рассматривая предел)(lim 0 xf xx мы предполагаем, что 0 xx но не достигает значения x 0.

переменная x  принимает значения только  меньше x 0  или,  наоборот,переменная x принимает значения только меньше x 0 или, наоборот, больше x 0 , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева: Axf xx )(lim 00 Если при 0 xx Axf xx )(lim

Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при Вместо значений x , удовлетворяющих условиюОпределение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при Вместо значений x , удовлетворяющих условию рассматриваются такие x , что 0 xx при 00 xxx 00 xx и значения x , такие что 00 xxx при 0 0 xx

Если пределы функции f(x)  слева и справа одинаковы и равны А , Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А , то существует общий предел этой функции, также равный А : Axfxf xxxx )(lim 0000 Axf xx )(lim




  • Мы удаляем страницу по первому запросу с достаточным набором данных, указывающих на ваше авторство. Мы также можем оставить страницу, явно указав ваше авторство (страницы полезны всем пользователям рунета и не несут цели нарушения авторских прав). Если такой вариант возможен, пожалуйста, укажите об этом.