Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2

Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция

Полное приращение функции 2 -х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение), (yxfyyxxfz

Определение дифференцируемой функции Функция называется дифференцируемой в точке М(х, у), если ее полное приращение можно представить в виде , где Δ x и Δ y -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х, у), А и В –постоянные, независящие от Δ x и Δ y , o ( ρ ) -бесконечно малая более высокого порядка, чем — расстояние между М ( х, у ) и), (yxfz )(oy. Bx. Az 22 yx ), (1 yyxx. M

Определение дифференциала Главная линейная относительно Δ x и Δ y часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df ( x , y ). Таким образом, . ), (yxfz y. Bx. Adz

Формула для вычисления дифференциала Если функция дифференцируема в точке М(х, у), то она имеет в этой точке частные производные и , причем = А, а =В . Так что, . Если положить , то ), (yxfz ), ( yxf x ), (yxfy yyxfxyxfdzyx), ( dyydxx , dyyxfdxyxfdzyx), ( ρyx, yfxx, yfzyx

При малых , то есть , или . Пример. Вычислить приближенно . dzz yx, yfx, yfyyx, xfyx yx, yfx, yfyx, yxfyx 1980031 43 , , ln

Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка функции z = f ( x, y ) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то . )( 2 dzdzd )( 1 zddzd nn 222 2 dyzdxzzdyyxyxx

Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят, что в точке функция f ( x , y ) имеет максимум, если c уществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P ( x , y ) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами. ), (000 yx. P 0( ) ( ). f P

Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума ). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть функция z = f ( x, y ) определена и имеет непрерывные частные производные до 3 -го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если . Если же в этой точке , то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке , теорема ответа не дает. ), (000 yx. M 0 yxzz 0)( 2 xyyyxxzzz 0 M 0 xxz 0)( 2 xyyyxxzzz 0 M 0 M 0)( 2 xyyyxxzzz

Пример Исследовать на экстремум функцию 50 20 , 0 0. z xy åñëè x u y x y

Наибольшее и наименьшее значения функции Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно : 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми yxyxz 22 3 0, 0, 1. x y , .

Скалярное поле Лекция

Основные определения Пусть в области D пространства Охуz задана функция u = u ( х, у, z ). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле , а саму функцию u = u ( х, у, z )называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т. д.

Основные определения Множество точек М области D , для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u ( М )=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

Если область D расположена на плоскости Оху , то поле u = u ( х, у ) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

Пустьfxy()x 2 y 2 f

Линии уровня Пусть . Линии уровня этой поверхности имеют вид 22 yxz f

Пусть дан конус f x y( ) x 2 9 y 2 4 1 2 f

Линии уровня конусаf

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля. Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат. zy, x, uu zy, x, P , γcos β; cos α; cos 0 0 α, β, γ

Определение Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность x P γ yℓz x P 1 β α 0 Рис. zz, yy, xx. P 1 222 zyx. PP 1 1Ρ ΡuΡuu

Производной функции в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : . zy, x, uu 0 u limu

Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению: u cos cos , ãä å u u u x y z l 2 2 2 , cos , . yxz x y z lll cos l l l l

Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля u = u ( x , y , z ), где u = u ( x , y , z )-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами . Таким образом, или . z u y u x u , , ), , ( zu yu xu gradu k zu j yu i xu gradu

Пример Найти градиент функции u = в точке M (6, 2, 3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u = + А в точке М 222 zyx 2 2 2 u x x x y z 2 2 2 u y y x y z 2 2 2 u z z x y z 222 zyx x i 222 zyx y j 222 zyx z k 6 2 3. 7 7 7 gradu i j k

Направление градиента Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке). l u

Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Величина градиента плоского скалярного поля , т. е. grad u = обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f ( x , y ). 22 y u x u

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е. , где . gradu l u l * max gradul *

Направление градиента Точка Р , в которой gradu ( P )=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.