Скачать презентацию Площадь параллелограмма Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь многоугольника Скачать презентацию Площадь параллелограмма Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь многоугольника

геометрия.ppt

  • Количество слайдов: 10

Площадь параллелограмма Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь многоугольника Площадь треугольника Площадь трапеции Площадь параллелограмма Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь многоугольника Площадь треугольника Площадь трапеции

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Площадь измеряется в Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Площадь измеряется в квадратных единицах. При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом 10. Равные многоугольники имеют равные площади. 20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

a Дано: b прямоугольник, а, b-стороны; S-пл. Д-ть: S=ab Доказательство: 1. Доп. построение: 2. a Дано: b прямоугольник, а, b-стороны; S-пл. Д-ть: S=ab Доказательство: 1. Доп. построение: 2. S квадрата = (a+b)2 Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. a b a a 2 S a b 2 b b 3. С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника площадью S, равного ему прямоугольнику с площадью S (св-во 10 площадей) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 (св-во 30 площадей). По св-ву 20 имеем: (a+b)2=S+S+a 2+b 2, или a 2+2 ab+b 2=2 S+a 2+b 2. Получаем S=ab. Теорема доказана. b

B 1 A H C 2 D K Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его B 1 A H C 2 D K Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту Доказательство: Дано: ABCD – параллелограмм Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК равна S. AD-основание Трапеция АВСК составлена из BH и CK – высоты параллелограмма АВСD и треугольника Д-ть: S=AD *BH DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоуг. треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и катету(АВ=CD, 1= 2, как соот. углы при пресеч. параллел. прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны. SABCD=SHBCK, т. е. SHBCK=S. По теореме о S пр. S=BC * BH, а т. к. BH=AD, то S=AD BH. Теорема доказана.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны a 1 Дано: ABCD – квадрат со стороной Площадь квадрата равна квадрату его стороны a 1 Дано: ABCD – квадрат со стороной а Д-ть: S=a 2 1 a= n , где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке. Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 12. Сторона 1 , т. е. равна n Итак, каждого маленького квадрата равна n а. 1 = 1 2= a 2 S= n 2 n

C A H D Дано: Треугольник АВС АВ – основание СН – высота B C A H D Дано: Треугольник АВС АВ – основание СН – высота B Д-ть: S= 1 АВ * СН 2 Теорема 1: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Доказательство: 1. Доп. построение: параллелограмм ABCD 2. Треугольники АВС и DCB равны по трем сторонам (ВС – общая сторона, АВ=CD и АС=BD), поэтому их площади равны. 3. Следовательно площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСD, т. е. S= 1 АВ * СН. Теорема 2 доказана. Следствия Теорема 2

Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следствие 2 Если высоты Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следствие 2 Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема 2: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников Теорема 2: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Доказательство: Дано: Наложим треугольник А 1 В 1 С 1 на треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 треугольник АВС так, чтобы вершина А 1 совместилась с А= А 1 вершиной А, а сторона А 1 В 1 и А 1 С 1 Д-ть: наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ 1 С имеют общую сторону СН, поэтому. Треугольники АВ 1 С 1 также имеют общую высоту – В 1 Н 1, поэтому Перемножая полученные равенств, находим: Теорема доказана. или

Теорема: В Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. АН Доказательство: С Теорема: В Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. АН Доказательство: С Н 1 Дано: Трапеция АВСD AD и ВС - основания ВН - высота D S - площадь Д-ть: S= 1 (AD+BC) *BH 2 Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки ВН и AD за высоту и основание треугольника ABD, а отрезки ВС и DH 1 за основание и высоту треугольника ВСD. Тогда 1 AD BH, S = 1 BC DH. SABD= BCD 2 * * 1 2 Так как DH 1=BH, то SBCD= 1 BC *BH. 2 Таким образом, S= 1 AD *BH+ 1 BC *BH= 1 (AD+BC) * BH 2 2 2