Планиметрия Вписанные углы Автор

План 1. Центральные и вписанные углы 2. Повторение теорем 3.

План 7. Описанные четырехугольники 8. Теорема об описанном четырехугольнике

Центральный угол Пусть дана окружность с центром O. Центральным углом этой

Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают

Некоторые определения и теоремы (повторение) Угловой мерой дуги окружности называется величина соответствующего

Ответьте на вопросы 1. Чему равны центральные углы, образованными двумя противоположными лучами

Вопрос 2 2. Чему равна сумма величин двух центральных углов,

Вопрос 3 Сколько различных вписанных углов определяют три различные точки данной

Вопрос 4 4. Как доказать, что если три точки E,

Теорема об измерении вписанного угла Вписанный в окружность угол равен половине

Следствие 1 1. Вписанные в одну окруж- ность углы, стороны которых проходят

Следствие 2 и 3 2. Если вписанные углы равны, то они

Следствие 4 Вписанные в одну окружность углы, стороны которых проходят через

Задача 5 На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат с

Ответьте на вопросы Определение. Говорят, что отрезок АВ виден под углом β,

7. Какой вид имеет множество всех точек, из которых данный отрезок виден под

Задача 8 В окружность вписан правильный шестиугольник. Сколько вписанных

Задача 9 Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ

Задача 10 (3 балла) На сторонах угла АВС, равного 120 град. ,

Вписанный четырехугольник 11. Какой многоугольник называется вписанным в окружность? (Устно вслух) Если многоугольник

Теорема об углах вписан- ного четырехугольника Сумма двух противоположных углов вписанного

Обратная теорема верна. Поэтому Теорема. Около выпуклого четырех- угольника можно описать окружность

Следствие 1 1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать

Следствие 2 Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она

Описанные четырехугольники Вопрос 14. Какой четырехугольник называется описанным около

Теорема Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин противолежащих сторон

Теорема Выпуклый четырехугольник можно описать около окружности тогда и только

Домашнее задание 1. Выучить основные теоремы

Скачать презентацию Планиметрия Вписанные углы Автор

Вписанные углы.ppt

Количество слайдов: 30

> План 1. Центральные и вписанные углы 2. Повторение теорем 3. План 1. Центральные и вписанные углы 2. Повторение теорем 3. Теорема об измерении вписанного угла и ее следствия 4. Задачи 5. Вписанный четырехугольник 6. Теорема об углах вписанного четырехугольника

> План 7. Описанные четырехугольники 8. Теорема об описанном четырехугольнике План 7. Описанные четырехугольники 8. Теорема об описанном четырехугольнике

> Центральный угол Пусть дана окружность с центром O. Центральным углом этой Центральный угол Пусть дана окружность с центром O. Центральным углом этой окружности называется угол, образованный двумя лучами с вершиной O.

> Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

> Некоторые определения и теоремы (повторение) Угловой мерой дуги окружности называется величина соответствующего Некоторые определения и теоремы (повторение) Угловой мерой дуги окружности называется величина соответствующего центрального угла. Равным хордам одной окружности соответствуют равные дуги. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

> Ответьте на вопросы 1. Чему равны центральные углы, образованными двумя противоположными лучами Ответьте на вопросы 1. Чему равны центральные углы, образованными двумя противоположными лучами одной прямой? Ответ: 180 град.

> Вопрос 2 2. Чему равна сумма величин двух центральных углов, Вопрос 2 2. Чему равна сумма величин двух центральных углов, которые образуют два луча OA и OB? Ответ: 360 град.

> Вопрос 3 Сколько различных вписанных углов определяют три различные точки данной Вопрос 3 Сколько различных вписанных углов определяют три различные точки данной окружности? Ответ: 3

> Вопрос 4 4. Как доказать, что если три точки E, Вопрос 4 4. Как доказать, что если три точки E, F и G разбивают окружность на три равные дуги, то Δ EFG равносторонний?

> Теорема об измерении вписанного угла Вписанный в окружность угол равен половине Теорема об измерении вписанного угла Вписанный в окружность угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Другая формулировка. Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

> Следствие 1 1. Вписанные в одну окруж- ность углы, стороны которых проходят Следствие 1 1. Вписанные в одну окруж- ность углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вер- шины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.

> Следствие 2 и 3 2. Если вписанные углы равны, то они Следствие 2 и 3 2. Если вписанные углы равны, то они опираются на равные дуги. 3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

> Следствие 4 Вписанные в одну окружность углы, стороны которых проходят через Следствие 4 Вписанные в одну окружность углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по разные стороны от прямой АВ, в сумме составляют 180 градусов.

> Задача 5 На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат с Задача 5 На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат с центром в точке О, как показано на рисунке. Вычислите, чему равен угол ОСА. В Ответ: 45 град. Е О С А

> Ответьте на вопросы Определение. Говорят, что отрезок АВ виден под углом β, Ответьте на вопросы Определение. Говорят, что отрезок АВ виден под углом β, если вписанный угол, опирающийся на АВ, равен β. 6. Под каким углом из точек окружности виден диаметр этой окружности? Ответ: под прямым

>7. Какой вид имеет множество всех точек, из которых данный отрезок виден под 7. Какой вид имеет множество всех точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом? Нарисуйте его.

> Задача 8 В окружность вписан правильный шестиугольник. Сколько вписанных Задача 8 В окружность вписан правильный шестиугольник. Сколько вписанных углов равно углу ОАС? Ответ: 23.

> Задача 9 Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ Задача 9 Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ так, что отношение их длин равно 4 : 5. Вычислите величины вписанных в эту окружность углов АМВ и АТВ. Т В Ответ: 100 и 80 А градусов. М

> Задача 10 (3 балла) На сторонах угла АВС, равного 120 град. , Задача 10 (3 балла) На сторонах угла АВС, равного 120 град. , отложены отрезки АВ = ВС = 4 см. Проведите окружность через точки А, В и С и найдите ее радиус. Ответ: 4 см.

>Вписанный четырехугольник 11. Какой многоугольник называется вписанным в окружность? (Устно вслух) Если многоугольник Вписанный четырехугольник 11. Какой многоугольник называется вписанным в окружность? (Устно вслух) Если многоугольник вписан в некоторую окружность, то окружность называется описанной около многоугольника. 12. Около каких известных четырехугольников можно описать окружность?

> Теорема об углах вписан- ного четырехугольника Сумма двух противоположных углов вписанного Теорема об углах вписан- ного четырехугольника Сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. BAD = ½ дуги BCD = ½ дуги BAD + BCD = = ½ ∙ 360° = 180°.

> Обратная теорема верна. Поэтому Теорема. Около выпуклого четырех- угольника можно описать окружность Обратная теорема верна. Поэтому Теорема. Около выпуклого четырех- угольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180°.

> Следствие 1 1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать Следствие 1 1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

> Следствие 2 Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она Следствие 2 Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная. Вопрос 13. Около любой равнобед- ренной трапеции можно описать окружность? Ответ: да.

> Описанные четырехугольники Вопрос 14. Какой четырехугольник называется описанным около Описанные четырехугольники Вопрос 14. Какой четырехугольник называется описанным около окружности? Четырехугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

> Теорема Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин противолежащих сторон Теорема Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин противолежащих сторон равны. Верно и обратное.

> Теорема Выпуклый четырехугольник можно описать около окружности тогда и только Теорема Выпуклый четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны. Решите последнюю задачу (10 баллов). В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите радиус окружности, если длины оснований трапеции равны а и b.

>Ответ: Ответ:

> Домашнее задание 1. Выучить основные теоремы Домашнее задание 1. Выучить основные теоремы