План лекции Понятие и чертёж Элементы

План лекции • • Понятие и чертёж Элементы призмы Общие свойства призм Виды призм и их особенности Поверхность призм Сечения призм Призмы вокруг нас

Понятие призмы • Чертёж призмы А В К D С • Призма это многогранник состоящий из двух равных плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. A’ B’ K’ D’ C’ Вернуться к плану

Элементы призмы Верхнее основание Ребро основания вершина Боковое ребро диагональ Нижнее основание Боковая грань высота

Элементы призмы • Основания – это грани, совмещаемые параллельным переносом. • Боковая грань – это грань, не являющаяся основанием. • Боковые рёбра – это отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. • Вершины – это точки, являющиеся вершинами оснований. • Высота – это перпендикуляр, опущенный из одного основания на другое. • Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. Вернуться к плану

Общие свойства призмы 1. Основания призмы равны 2. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях 3. У призмы боковые рёбра параллельны и равны 4. Любая боковая грань является параллелограммом Вернуться к плану

Виды призм n –угольная призма Прямая призма Правильная призма Наклонная призма Вернуться к плану

N-угольная призма • - это призма, в основании которой лежит n -угольник Треугольная призма Четырёхугольная призма Шестиугольная призма

Прямая призма • - это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основанию • Её высота равна боковому ребру h b

Правильная призма • - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. В основании равносторонний треугольник В основании квадрат В основании правильный 6 -угольник

Наклонная призма • - это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. h

Поверхность призмы Полная поверхность Sполн. Боковая + поверхность Sбок Поверхность оснований Sосн Поверхность – это сумма площадей граней

Боковая поверхность прямой призмы • Теорема: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра. Дано: прямая n-угольная призма, a 1 , а 2 … аn стороны основания, l - боковое ребро. Доказать: Sбок=Pосн l Вернуться к плану

Доказательство теоремы • Боковые грани прямой призмы – прямоугольн которых сторонами являются стороны основа призмы и боковые рёбра призмы1=a 1 l , S S 2=a 2 l …Sn= an l • Sбок= S 1+S 2+…Sn=a 1 l +a 2 l +an l = (a 1 +a 2 +…an) l =Pосн l Теорема доказана

Особые сечения призмы • Перпендикулярное • Диагональное сечение – это сечение, проходящее через два перпендикулярно боковых ребра, не боковым ребрам. принадлежащих одной грани. Вернуться к плану Sбок. п. =Pперп. сеч. АА 1

Призмы вокруг нас

Пирамида

Пирамида Вершина Высота пирамиды S Рёбра Боковая грань Высота боковой грани D E C O H A B Основание

Виды пирамид M S Боковая поверхность B C D A C A B Треугольная пирамида Четырёхугольная пирамида

S AB=BC=AC, ∆ABC-равносторонний. Пирамида правильная Апофема N C B R O K A r M

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны. PA 1 A 2…An - правильная пирамида P OPA 1 = 1. PO( катет) – общий; 2. OA 1=OA 2=…R (катеты) h An O R OPA 2 = … R A 1 A 2 Значит, PA 1=PA 2 =…

Все боковые грани правильной пирамиды равные равнобедренные треугольники. P A 5 PA 1 A 2 A 3…An – правильная пирамида PA 1 A 2= PA 2 A 3=…= PA 1 An (по трём сторонам) A 1 A 2=A 2 A 3=A 3 A 4=. . ; PA 1=PA 2=PA 3=… A 4 An A 3 A 1 A 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему P Sб. п. =S A 1 A 2 P+S A 2 A 3 P+S A 3 A 4 P =… = ½A 1 A 2·PH + ½A 2 A 3· PH + + ½A 3 A 4· PH…= = ½PH·(A 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 4 +…) = ½PОСНОВ. A 4 An A 3 H A 1 A 2 PH или Sбок. п. =½Pосновh, где h - апофема

Усечённая пирамида M C 1 B 1 Верхнее основание A 1 D 1 Ребра h C D B Нижнее основание A Боковая грань