Підготувала: Бабенко Оксана Анатоліївна, вчитель математики ЗОШ № 5 м. Черкаси, вища категорія;
Мета: Повторити геометричні поняття і твердження; навчитися будувати перерізи різними способами; розвивати просторове уявлення та вміння логічно вибудовувати своє пояснення. Виховувати інтерес до технічних знань.
• Геометричні поняття; • Геометричні твердження; • Основні поняття; • Побудови перерізів; • Методи побудови перерізів; • Довідковий матеріал; • Література;
вершина • Площина – грань • Пряма – ребро • Точка – вершина ребро грань
Многогранники • Тетраедр • Паралелепіпед
• Якщо дві точки прямої лежать на одній площині, то і вся пряма належить даній площині.
• Якщо дві паралельних площини перетинаються третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.
Основні поняття. • Січною площиною многогранника називається така площина по обидві сторони від якої є точки даного многогранника. • Перерізом многогранника називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для многогранника і січної площини
Вид перерізу залежить від розміщення площини.
Площину перерізу можна задати: 1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій; 2. Прямою і точкою, що не лежить на ній; 3. Двома прямими, що перетинаються; 4. Двома паралельними прямими;
Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад: в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.
Які многокутники отримаємо в перерізі п'ятикутної призми площиною? Трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник, семикутник Чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник. Виберіть правильну відповідь Чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник, семикутник, восьмикутник Трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник
Які многокутники отримуються в перерізі паралелепіпеда?
Скільки площин можна провести через виділені елементи?
Що означає побудувати переріз? Побудувати переріз многогранника площиною – означає: ü в площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу; ü з'єднати ці точки прямою; ü знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника. Приклади
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. С А В Довідка
2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. В АВ || СК С А К Довідка
3. Через ребро АВ і точку М ребра СD тетраедра АВСD провести переріз. D М А С В Довідка
4. Побудувати переріз, що проходить через вершину C і точки М і N, що лежать на гранях ADC і АВС тетраедра АВCD В N А D M Довідка С
5. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. B C А Довідка
6. Побудувати переріз, що проходить через вершину D і точки М і N тетраедра АВС D А В M N С Довідка
Методи побудови перерізів многогранників. Метод слідів. Метод внутрішнього проектування або метод допоміжних перерізів Комбінований метод
Метод слідів Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β. α т β
Метод слідів включає три важливих пункти: v Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника. v знаходимо точки перетину січної площини з ребром многогранника. v Будуємо і заштриховуємо переріз. B К C А Р М Довідка
Задачі на побудову перерізів методом сліду. Поетапна побудова перерізів; По заданій побудові записати етапи; Складні приклади перерізів;
1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. В С А
2. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN не паралельна DP. A M N D B P C Побудова
A M N D B К О P C 6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз
3. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, DC відповідно, і площини АВС. D М А N С Р В Побудова
D М H А N С Р G K В 8) Чотирикутник MNGH – шуканий переріз.
4. Побудувати переріз куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB 1, CC 1, A 1 D 1 відповідно K D 1 C 1 А 1 B 1 D C M А N B Побудова
Е C 1 D 1 K А 1 B 1 D C M А N B
D 1 F Е C 1 K А 1 B 1 D C M А N B
D 1 Е C 1 F K G B 1 А 1 N H D C M А B
Многокутник KFNMH – шуканий переріз. D 1 F Е C 1 K G B 1 А 1 N H D C M А B
5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди, заданої точками М, N і К. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його K M N
6. Побудуйте переріз п'ятикутної призми, що проходить через точки M, N, K. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його. N M K
7. Побудувати переріз куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 площиною, що проходить через вершину В 1 і точки Р і Q, що лежать на ребрах AD і DC відповідно В 1 С 1 D 1 А 1 В С Q А P D
8. Побудувати переріз чотирикутної піраміди АВСDM в основі якої лежить трапеція. На ребрах МА і МВ, а також на грані МСD взяті відповідно точки Р, Q, R. M Q R C P B D A
Розглянемо більш складні приклади. N K M
Розглянемо більш складні приклади. K N M Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней
Розглянемо більш складні приклади. K N M
Метод внутрішнього проектування Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури B A M N C E X D T B 1 A 1 M 1 N 1 C 1 D 1=T 1 E 1 Y
Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що A 1 проходить через точки M, N, K, які M A 2 належать відповідно граням M 1 АА 1 В 1, ЕDD 1, A CDD 1. B 1 C 1 D 1 E 1 K B C N K 1 D E N 1
Комбінований метод. При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методі слідів або метода внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні в розділі “Паралельність прямих і площин!”
Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А 1 В 1, Q належить(DCC 1), R належить (АDD 1) B 1 C 1 P D 1 А 1 S Q R C B А D Побудова
1. Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів. 2. Використовуючи P властивості і ознаки паралельності площин А 1 будуємо шуканий переріз. 3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз. C 1 U V B А T B 1 S D 1 Q R C D
Довідковий матеріал. • Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну; • Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки даної прямої належать площині; • Аксіома 3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму на якій лежать спільні точки цих площин; • Наслідки з аксіом: 1) Через пряму і точку, що не належить даній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну; 2) Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну. • Теорема (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні; • Теорема (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою, то лінії їх перетину паралельні; • Теорема (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належить даній площині, паралельна будь-які прямій цієї площини, то вона паралельна і даній площині.
Література. 1. Е. К. Лейнартас “Математика. Перерізи многогранників”, Красноярск, 2006 2. http: //www. freeware. ru/program_prog_id_1536. h tml (програма, для побудови перерізів основних просторових фігур) 3. http: //mail. spb. fio. ru/archive/group 14/c 4 wu 5/tityl. html
Скачать презентацию Підготувала Бабенко Оксана Анатоліївна вчитель математики ЗОШ
3396_1.ppt