Перпендикулярность прямых и плоскостей Содержание n n

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание n n n Перпендикулярные прямые в пространстве Лемма Определение прямой, перпендикулярной к плоскости n Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости n Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости n Признак перпендикулярности прямой и плоскости n Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости n Перпендикуляр и наклонные n Теорема о трех перпендикулярах n Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах n Угол между прямой и плоскостью

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о с а b α c b

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a Доказать: b c b M Дано: а || b, a c A c C α Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости а α

Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a Дано: а || а 1; a α а 1 Доказать: а 1 α α х Доказательство:

Теорема 2 β Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M с Дано: а α; b α α a b 1 b Доказать: а || b Доказательство:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. a q O p m Дано: а p; a q p α; q α α p∩q=O Доказать: а α Доказательство:

Доказательство: а) частный случай a A P l Q q α p O m B L

Доказательство: а) общий случай a 1 a m q p O α

Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. β М b а α с Дано: α; М α Доказать: 1) ∃ с, с α, М с; 2) с – ! Доказательство:

Задача Дано: ABC; MB BA; MB = BD = a M Доказать: МB BD Найти: MD a Решение: В А a D C

Задача 128 Дано: ABCD параллелограмм; AC ∩ BD = O; М (ABC); МА = МС, MB = MD М Доказать: OМ (ABC) Доказательство: D А C O В

Задача 122 D К Дано: ABC – р/с; О – центр ABC CD (ABC); ОК || CD АB = 16 3, OK = 12; CD = 16 Найти: AD; BD; AK; BK. 16 Решение: 12 В C O А

Перпендикуляр и наклонные М α МН α Н α А α В α М АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр α Н А МА и МВ – наклонные В

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А α Н β а М Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а НМ, М а Доказать: а АМ Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А α Н β а М Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а АМ, М а Доказать: а НМ Доказательство:

Угол между прямой и плоскостью (а ; α) = АОН = φ β А φ О α а Н