ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости называются перпендикулярными если угол

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей. ) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a, перпендикулярную плоскости β, c – линия пересечения плоскостей α и β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости β через точку пересечения прямой a с плоскостью β проведем прямую b, перпендикулярную прямой c. Через прямые a и b проведем плоскость γ. Прямая c будет перпендикулярна плоскости γ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости β, то угол, образованный a и b, прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости α и β перпендикулярны.

Упражнение 1 Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны? Ответ: Нет.

Упражнение 2 Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую? Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.

Упражнение 3 Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β? Ответ: Нет.

Упражнение 4 Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости? Ответ: Да.

Упражнение 6 Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB. Ответ: 90 о, 60 о.

Упражнение 7 В кубе A…D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC; б) BCD 1. Ответ: а) ABB 1, BCC 1, CDD 1, ACC 1, BDD 1; б) AAB 1, CDD 1, AB 1 C 1.

Упражнение 8 В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1; б) ACC 1; в) ADD 1. Ответ: а) ABC, A 1 B 1 C 1, AEE 1, BDD 1, AB 1 D 1, BA 1 E 1; б) ABC, A 1 B 1 C 1, AFF 1, CDD 1, BEE 1, AC 1 D 1; CA 1 F 1; в) ABC, A 1 B 1 C 1, BFF 1, CEE 1.

Упражнение 9 Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC. Ответ. ABB 1 ADD 2, BCC 1, CDD 2, A 1 D 1 C 2, ACC 1, BDD 2, AA 2 C 2, BB 1 D 1, CC 1 A 1, A 1 B 2 D 2.

Упражнение 10 Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ADD 1. Ответ. ABC, ABB 1, CDD 1, A 1 A 2 D 2, A 3 B 3 C 3, ABC 1, CDA 1, B 2 C 3 D 3, B 3 C 2 D 2, AD 3 C 3, DA 3 B 3.

Упражнение 11 Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны? Ответ: Да.

Упражнение 12 Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию? Ответ: Да.

Упражнение 13 Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию? Ответ: Да.

Упражнение 14 Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника? Ответ: а) Да; б) да; в) да.