ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 1 ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 1 ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Работа внешних и внутренних сил Расчеты на жесткость и расчеты статически неопределимых систем предполагают определение перемещений, являющихся следствием деформации элементов конструкции. Вывод формул определения перемещений проведем достаточно распространенным энергетическим методом, основанном на анализе работы внешних и внутренних сил. Будем рассматривать лишь линейно деформируемые системы , то есть системы, перемещения и деформации которых можно представить в виде однородных линейных функций внешних сил F к: nin 22 i 11 ii. F. . . FF (1) ij Здесь i — определенного типа перемещение i -й точки сооружения, – перемещения того же типа i -й точки, вызываемое силой F j = 1 Fj j j F d F 0 dj j. F T j Р и с. 6. 1 Р и с. 6. 2 Различают действительную и возможную работы сил. Действительной называют работу, совершаемую силой на перемещении, вызываемом этой же силой. Рассмотрим систему с действующей на нее одной силой Fi постоянного направления. Так как рассматриваемая система линейно деформируемая, то iiii. F Зададим F i приращение d. F i Перемещение dd Fiiii. Элементарная действительная работа: . . d. FFd. Fd)d. FF(d. Tiiiii точки ее приложения изменится при этом на

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 2 Работа, совершаемая статически приложенной силой F i , равна сумме элементарных i F iiiid. FFd. TT 0. F Fii i ii 22 2 . 2 F Т ii Итак, Получено простое доказательство теоремы Клапейрона : действительная работа статически прикладываемой к линейно деформированной системе силы равна половине произведения силы на соответствующее ей действительное перемещение. Если на систему действуют несколько сил, то. F 21 T i i i В общем случае действия разнотипных усилий выражение для действительной работы можно представить в виде , dsvq. MF 2 1 T ij. K kkjjii i j kv, , где -полные перемещения при одновременном действии всех сил. Смысл третьего слагаемого станет понятен из рассмотрения системы на следующем рисунке

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 3 Внутренние усилия препятствуют развитию деформации тела, поэтому при нагружении тела, не имеющего начальных напряжений, работа внутренних сил отрицательна. Суммарная работа Если q = const , то b a 2/qvdsq 21 T – площадь эпюры перемещений под нагрузкой q. где внутренних сил , взятая с обратным знаком, носит название потенциальной энергии упругой деформации тела вн. TU Для определения U плоской стержневой системы рассмотрим элемент стержня длины ds. Выразим d. U – потенциальную энергию деформации, представленного на рисунке элемента стержня через работу внешних по отношению к нему сил N, Q , М. b a. qvds 2 1 T, qdsv 2 1 d. T вн. T

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 4 Q M d sd sd s N d s d M d s Q 0 d A y z а )б )в )г ) N д ) ()/, (); ds. N ds. AEd. Uds. N Nds AE N 1 2 2 ; EI ds. M 2 1 Md 2 1 d. U, EI Mds ds ds vd ds dv dd z 2 M z 2 2 , d. A Gds )d. A)(ds()d. U(d, b. IQS , G/ Q z отс, z 2 221 AAz отс, z Q, GA ds. Q d. A b. I S G ds. Q d. A G ds d. U 2222 d. U – потенциальная энергия деформации, представленного на рисунке элемента стержня Az отс, z, d. A b. I S

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 5. GA 2 ds. Q EI 2 ds. M EA 2 ds. N U 2 z 22 Потенциальная энергия упругой деформации плоской стержневой системы Виртуальными или возможными называют малые перемещения системы , допускаемые связями. При совершении системой возможных перемещений величина и направление действительных внешних и внутренних сил, отвечающих ее исходному состоянию, остаются неизменными. Fj F T Работу сил на возможных перемещениях называ ю т возможной и обознача ю т , при этом T FT В частности, возможными можно считать перемещения, вызванные другими силами. Для системы усилий: iк кк j iji. dsvq. MFT

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 62. Метод Максвелла–Мора определения перемещений плоских стержневых систем Вывод разрешающих соотношений метода базируется на применении принципа возможных перемещений (принцип виртуальных работ): для равновесия упругой системы необходимо и достаточно равенства нулю суммы возможных работ всех внешних и внутренних сил системы, то есть. TU 0. Состояние системы, находящейся под действием заданной нагрузки (рис. а)) называют действительным или грузовым. Фиктивным или единичным называют состояние равновесия системы, находящейся под действием F i = 1 (рис. б). Fi = 1 N F , Q F , M F N i , Q i , M i Примем в качестве возможных перемещения действительного состояния системы. GA ds. Q , EI ds. M d, EA ds. N )ds( F z. FF (2)

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 7 Работа внутренних сил фиктивного состояния на возможных перемещениях. ds GA QQ ds EI MM ds EA NN UTFi z Fi. Fi вн Возможная работа силы равна Fi 1 Ti. F 1, Для равновесия фиктивного состояния, согласно принципу возможных перемещений, должно выполняться равенство (2), которое с учетом (3) и (4) примет вид: . ds GA QQ ds EJ MM ds EA NNFi z Fi. Fi i. F интеграла Мора В приложениях формула (5) допускает существенные упрощения, определяемые характером работы элементов стержневой конструкции. Так, в частности: а) при определении перемещений в фермах в (5) сохраняются лишь слагаемые с N ; б) при определении перемещений в рамах и балках, для которых деформациями сдвига и растяжения или сжатия можно пренебречь, в (5) удерживают лишь слагаемые с М; в) при определении перемещений в арках удерживаются все слагаемые интеграла Мора. (3) (4) (5)

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 83. Техника определения перемещений Выбор фиктивного состояния определяется видом искомого перемещения: 1. При определении линейного перемещения точки С оси рамы в направлении k — k в этой точке прикладывается сила F =1 с линией действия k — k ; 2. При определении взаимного линейного смещения точек С и В системы в них прикладываются противоположно направленные по линии СВ единичные силы; C F = 1 k k BF = 1 1. 2. C m = 1 Д C m = 1 3. 4. 3. При определении угла поворота поперечного сечения рамы С (или, что то же, касательной к изогнутой оси стержня в этой точке) в нем прикладывается момент m = 1; 4. При определении взаимного угла поворота двух сечений системы С и Д в точках С и Д прикладывают противоположно направленные единичные моменты.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 9 При определении перемещений в балках и рамах вычисление интеграла Мора удобно осуществлять графоаналитическим методом. Формула ( правило ) Верещагина Рассмотрим, например, произвольный грузовой участок системы bxa , в пределах которого EI z = const. b a Fi zz Fi. dx. MM EI 1 dx EI MM Преобразуем интеграл: b a FFi. Fi FF xdtgd. Mdx. MM c. Fyxtg)(. b az c. F z Fi, EI y dx EI MM Итак, где F площадь грузовой эпюры M F ; y c – ордината линейной эпюры M i , взятая под центром тяжести эпюры M F. Удобство правила Верещагина особенно отчетливо проявляется, когда эпюры подинтегральных моментов представляют собой сочетания прямоугольников и треугольников.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 10 MMi. F Ф ормула Симпсона , позволяющая определять точное значение интеграла Мора, если произведение является полиномом не выше третьей степени. dx EI MM z Fi с F с i л F л i z MM 4 MM( EI 6 b ). MM п F п i b – длина грузового участка.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 11 ПРИМЕРconst. EI 2 x qx. YМ: 6 х

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 12 EI 28 2 32 2 212 )1223140( 66 EI 1 dx EI MM V 1 K

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 13 EI 18 1 2 212 )1213 2 1 40( 6 6 EI 1 dx EI MM 2 K

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 14 dx EI MM vz 1 A )6115. 1442( 6 2 )421140( 6 2 EI 1 z dx EJ MM 2 A )141140( 6 2 EI 1 z ) 21 6 43 1414( 6 2 z. EI 3 4 2 1 3 2 22 2 1 z. EI 3 42 3 212 2 1 dx EI MM v z 3 K )16 2 1140( 6 2 EI 1 z 1 32 22 21 z. EI 4 6 2 EI 1 dx EI MM zz 4 k)65. 0125. 040(. EI 3 2 5. 0 3 2 2 22 z

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 154 м q = 2 к Н / м F = 4 к Н m = 2 к Н м. 4 м 2 6 1 4 1 02 1 0 2 М 6 6 F = 1 1 1 m = 1 12 ММ а )б ) в )г ) BC )( EIEI )( ds EI MM v pp FC 42564610 6 22421 1 поворота сечения В при условии, что EIp = =2 EIc. ; EI/. )( EI C C 33836106144626 6 4 . EI/. )( EI ds EI MM C C FB 33611011414261 6 42 2 BТребуется определить v c – вертикальное перемещение точки С и – угол

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 16 Теоремы взаимности В приложении к линейно-деформируемым стержневым системам можно утверждать, что в процессе их деформации вся работа внешних сил T переходит в потенциальную энергию упругой деформации U , накапливаемую системой, то есть. TU (1) Такая форма закона сохранения энергии возможна потому, что для указанных систем работа внешних сил, расходуемая на преодоление внутреннего трения в материале и связях, на изменение температуры и прочие необратимые потери, оказывается пренебрежимо малой. Анализ выражения потенциальной энергии упругой деформации U 0 U 1. Всегда . GA 2 ds. Q EI 2 ds. M EA 2 ds. N U 2 z 22 позволяет сделать следующие выводы: 2. Потенциальная энергия, вызванная группой сил, не равна сумме энергий, вызванных каждой из этих сил в отдельности ( т. к. , напр. , ); ( ). M M ds 1 2 22 3. Количество потенциальной энергии системы не зависит от последовательности загружения, а определяется лишь ее исходным и конечным состояниями (т. к. от последовательности загружения не зависят определяющие U значения усилий N , Q , M. ). ;

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 17 k jj j. FFkjj k kj k j. F Fk k k j. Рассмотрим два варианта последовательных загружений системы силами F i , F k и определим совершаемые при этом работы. TFFF ii i ik i kk k 1 1 2 , T F F F kk k ki k ii i 2 1 2 , (2) ik ik. Fk где перемещение точки приложения (и по направлению) силы , вызываемое силой i. FПоскольку работа, как и U зависит лишь от конечного состояния системы, должно выполняться равенство T 1 = T 2, из которого, с учетом (2), следует: kkiiik. FF (3) Получено простейшее доказательство теоремы о взаимности работ , известной в литературе под названием теоремы Бетти.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖ НЕВЫХ СИСТЕМ 18 ikikk. F kikiikik. F)F( ikki. Из (3), с учетом зависимости , получим и, следовательно, (4) Равенство (44) является утверждением теоремы Максвелла или теоремы о взаимности перемещений для двух единичных состояний упругой системы : перемещение точки приложения и по направлению i — го усилия от действия k -го единичного усилия, равно перемещению точки приложения и по направлению k -го усилия от действия i -го единичного усилия.