Переменный ток Символический метод расчета Изобразим некоторое комплексное

Переменный ток Символический метод расчета Изобразим некоторое комплексное число на комплексной плоскости. - мнимая единица А = a +Jb - комплексное число в алгебраической форме А – модуль комплексного числа

- действительная часть комплексного числа - Мнимая часть комплексного числа Если вектор начать вращать против часовой стрелки со скоростью ω, то его проекция на мнимую ось может быть записана следующим образом Jm ( )=Asin(ωt+β), что совпадает с записью мгновенного значения тока [ i(t)=Imsin(ωt+φ) ]. Таким образом, мгновенное значение тока i(t) может быть изображено вектором, вращающимся на комплексной плоскости со скоростью ω . А - комплексное число. Обозначается подчеркнутой буквой.

Комплексное число может быть записано в следующих формах: Алгебраической форме А= а + jb a- действительная часть комплексного числа b- мнимая часть комплексного числа Показательной форме A=А e jβ А-модуль комплексного числа (неподчеркнутая буква) β-аргумент комплексного числа Тригонометрической форме А= A cos β+jA sin β a = A cos β, a b = A sin β; ;

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи 1.Синусоидальный ток в активном сопротивлении U = IR - закон Ома для в комплексной форме Качественная векторная диаграмма i(t) =Imsinωt u(t) =Umsinωt На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе

2.Синусоидальный ток в индуктивности L- коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током i(t) u(t) L XL=ωL –реактивное сопротивление индуктивности (индуктивное сопротивление) Закон Ома в комплексной форме для индуктивности iL(t) =Imsinωt В индуктивности напряжение опережает ток на угол 90 градусов(а ток отстает).

3.Синусоидальный ток в емкости - емкостное сопротивление Uc=I(–jxc) - Закон Ома для емкостного сопротивления в комплексной форме В емкости ток опережает приложенное к ней напряжение на 90 градусов. UC (t)=Umsinωt ic(t)=Imsin(ωt+ )

Задачи R1=20 Ом R2=R3=10 Ом L= 0,1Гн С=1000мкФ u(t)=200 sin (100t-300) Определить i1(t) Рассчитываем сопротивления Входное сопротивление (относительно источника)

Ответ:

Цепи с взаимной индукцией В электрических цепях переменного тока иногда магнитный поток одной катушки индуктивности пронизывает витки другой катушки и наводит в ней ЭДС, называемой ЭДС взаимной индукции. Такие катушки называются индуктивно связанными (или магнитосвязанными). Различают согласное и встречное включение индуктивно связанных катушек. Когда потоки само и взаимоиндукции совпадают в магнитосвязанных катушках, то такое включение называют согласным. Если потоки само и взаимоиндукции в магнитосвязанных катушках направлены навстречу друг другу, то такое включение катушек называется встречным.

Цепи с взаимной индукцией

Цепи с взаимной индукцией Правило знаков при записи законов Кирхгофа Если в электрической цепи две магнитосвязанных катушки включены согласно, то в законах Кирхгофа напряжение самоиндукции и взаимоиндукции(т.е.наведенное другой катущкой) записываются с одинаковыми знаками, если встречно-то с противоположными знаками.

Задачи Пусть две катушки включены последовательно. При таком расположении одноименных зажимов включение катушек будет согласным. Второй закон Кирхгофа для контура IR1+ I jxL1+ I jхm+ I R2+I jxL2+I jxm= U U = I (R1+ R2 ) + I j ( xL1+ xL2 +2 xm)

Задачи ( xL1+ xL2 +2 xm) = х согл.- полное реактивное сопротивление катушек при их согласном последовательном включении Если U = 200 B, R1 = R2 = 10 Ом, L1 = 0.2 Гн, L2 = 0.1Гн, М = 0,3 Гн, ω = 100с-1

Задачи - напряжения самоиндукции

Задачи Если включение будет встречным I R1+ I jxL1- I jхm+ I R2+I jxL2- I jxm=U Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура U = I (R1+ R2 ) + I j ( xL1+ xL2 - 2 xm) Xвстречн.

Задачи ( xL1+ xL2 - 2 xm) = х встречн.- Полное реактивное сопротивление катушек при их последовательном встречном включении Решение

Задачи Векторная диаграмма

Расчет сложных электрических цепей с взаимоиндукцией 1.Уравнения по законам Кирхгофа I1+I2+I3=0 I1R1+I1jxL1-I3jxm13+I 4jxm14-I2R2+I2jxc2= E1 I4R4+I4jxL4-I3jxm13+I1 jxm14= 0 (для верхнего узла)

2.По методу контурных токов I11 (R1+jxL1 + R2- jxc2 )- I22 (R2- jxc2 )+ I22 jxm13+I33jxm14= E1 I22( R2- jxC2+ jxL3- jxc3)- I11( R2- jxC2) +I11 jxm13+I33jxm243=- E3 I33 (R4+jxL4 )+I11jxm14+I22 jxm34= 0 Для упрощения расчетов можно произвести эквивалентную замену индуктивных связей. Тогда получим обычную электрическую цепь, при расчетах можно использовать любые известные методы.

Эквивалентная замена индуктивных связей или "развязка"

Правило знаков при эквивалентной замене индуктивных связей Если две индуктивно связанных катушки подключены к узлу одинаковыми зажимами ,то при "развязке" в свои ветви (где находятся катушки) добавляются сопротивления ( -jХm), а в ветвь за узлом сопротивление (+jxm).Если катушки присоединены разноименными зажимами , то знаки у сопротивлений xm противоположные.

Преобразование последовательных электрических цепей в параллельные и обратно(на переменном токе)

Резонанс В электрических цепях иногда несмотря на наличие индуктивностей и емкостей электрическая цепь ведет себя как активное сопротивление. В такой электрической цепи напряжение на входе цепи совпадает по фазе с током .Такое явление в электрической цепи называется фазовым резонансом или просто резонансом. Различают два вида резонанса: 1. Резонанс напряжений. Условия резонанса : а) φu – φi = 0 или φ =0. в) Jm ( z )=0 2. Резонанс токов. Условия резонанса : а) φu – φi = 0 или φ =0. в) Jm ( Y ) = 0

В простых цепях условия резонанса Jm ( z )=0 и Jm ( Y ) = 0 соответствуют условию XL=XC , например ωр – резонансная частота

Векторные диаграммы резонансных режимов в простых цепях Резонанс напряжений Резонанс токов

I R2 U L С I2 I1 R1 Условием резонанса для этой цепи является bLэкв= bcэкв или = В сложных цепях:

Векторная диаграмма сложной электрической цепи в резонансном режиме

Задачи на резонанс Исходные данные U =240В, L=40 мГн,С=1мкФ Определить показания амперметров А1 и А2 , если показания А=0 Решение Так как IA=0, в цепи резонанс токов. Из условия резонанса откуда резонансная частота U1 U2 1

задачи Определим ток IA2 Найдем напряжение U1 по второму закону Кирхгофа т.к.I2=0

Задачи на резонанс Ток амперметра найдем по первому закону Кирхгофа для узла 1 т.к.I2=0 Ответ

Задачи на резонанс A1= 5 A , А2 = 4 A Входное напряжение U= 100 В. Входной ток и напряжение совпадают по фазе Определить ток I и параметры электрической цепи R,XL,XC. Так как ток на входе совпадает с напряжением, в цепи резонанс. Построим векторную диаграмму . U I1 I2 I I1R I1jXL

Задачи на резонанс Из условия резонанса bL = bC

Задачи на резонанс Ответ: I = 3 A, Xc =25 Ом, XL = 11,477 Ом , R = 16.4 Ом

Трехфазные электрические цепи

ЕА, ЕВ, ЕС- фазные ЭДС UAB , UBC, Ucd – линейные напряжения "0" – нейтральная точка генератора Типы соединения обмоток трехфазного генератора Фазные ЭДС

Векторная диаграмма +J EA EB UAB UBC UCA +1 EC 300 0

1. Соединение "треугольник" А EAB ECA EBC В С V Ixx Генератор в режиме холостого ходка Zг UAB=UФ UФ=Uл При соединении генератора треугольником фазное напряжение равно линейному.

Различают симметричные и несимметричные трехфазные электрические цепи. Симметричные трехфазная электрическая цепь-цепь в которой симметричный генератор питает симметричную нагрузку. Симметричной называется такая нагрузка когда комплексные сопротивления в каждой фазе одинаковы. Достоинства симметричных электрических цепей 1.Отсутствует напряжение смещение нейтрали U001 (напряжение между нейтральной точкой генератора О и нагрузки О1). 2.Возможен расчет трехфазной электрической цепи на одну фазу , (как правило А)

Задача Трехфазный приемник питается от симметричной трехфазной сети UЛ = 380 В, Z = ( 4+j 3 ) Ом. Определить токи IA, IB, IC, активную мощность, потребляемую цепью Так как комплексные сопротивления фаз нагрузки одинаковы, трехфазная электрическая цепь симметрична. Расчет ведем на одну фазу.

Ответ: IА = IB = IC = 44 A, P = 22.22 кВт Векторная диаграмма EA EB EC Ic Ia Ib    0 01  = -36,87о Uл

Расчет трехфазных несимметричных электрических цепей Трехпроводные (без нулевого провода) Обязательно существует напряжение смещение нейтрали Напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжение генератора. Расчет невозможен на одну фазу. Четырехпроводные(с нулевым проводом) а) Сопротивление в нулевом проводе отсутствует. Напряжение смещение нейтрали равно нулю. Напряжение на фазах нагрузки равно фазному напряжение генератора. В нейтральном (нулевом)проводе существует ток нейтрали.

в) В нейтральном проводе есть сопротивление Напряжение смещение нейтрали не равно нулю. Напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжение генератора Расчет невозможен на одну фазу. Ток в нейтральном проводе не равен нулю. Решение задач Симметричный генератор ЕФ = 100В Модули сопротивлений фаз нагрузки Za = Zb = Zc=10 Ом. Найти токи в фазах нагрузки и в нулевом проводе, а также показания ваттметра. I0

Решение Ток в нулевом проводе

Показания ваттметра

IA Исходные данные Еф = 100 В Сопротивления нагрузки Zа = (6+j8) Ом, Zb =(6-j8) Ом Zс= 10 Ом. Определить токи в фазах, построить векторную диаграмму. Решение Комплексы фазных ЭДС

Токи в фазах