Паралельне центральне і ортогональне проектування Учениці 10 Т

Паралельне, центральне і ортогональне проектування Учениці 10 –Т класу Запорожченко Ангеліни

Паралельне проектування Кожній точці A простору відповідає її проекція A' на площину π. Ця відповідність називається паралельним проектуванням на площину π в напрямку прямої l.

Площина π називається площиною проекцій, а прямі, паралельні прямій l, називаються проектуючими прямими.

Властивості паралельного проектування Властивість 1. Якщо пряма паралельна або збігається із прямою l, то її проекцією в напрямку цієї прямої є крапка. Якщо пряма не паралельна й не збігається із прямою l, то її проекцію пряма.

Властивість 2. Проекцією відрізка при паралельному проектуванні є відрізок або точка, якщо відрізок належить чи паралельний прямій l.

Властивість 3. Проекціями двох паралельних прямих, не паралельних прямій l, є або паралельні прями або одна пряма.

Властивість 4. Якщо площина фігури F, паралельна площині проектування π, то проекція F ’ на площину π буде дорівнювати фігурі F.

Властивість 5. Довжини проекцій паралельних відрізків або відрізків однієї прямої відносяться, як довжини відрізків, які проектують.

Ортогональне проектування Ортогональним проектуванням називається паралельне проектування в напрямку прямої, перпендикулярної площині проектування.

Маючи зображення прямого тригранного кута, легко побудувати зображення прямокутного паралелепіпеда. Його ребра лежать на прямих, паралельних OA, OB і OC, відповідно.

Ортогональної проекцією сфери є коло , радіус якого дорівнює радіусу сфери.

Центральне проектування Нехай π - деяка площину , S - яка не належить їй точка , центр проектування. Для точки A простору проведемо пряму a , що сполучає цю точку з точкою S. Точка перетину цієї прямої з площиною π називається центральною проекцією точки A на площину π. Позначимо її A '. Відповідність , при якому точкам A простору зіставляються їх центральні проекції A ' , називається центральним проектуванням або перспективою.

На малюнку показано центральне проектування у разі, коли площина проектування розташована між фігурою Ф і центром проектування S. Якщо центр проектування уявляти собі як око спостерігача, то враження, вироблене на нього зображенням Ф', буде таким же як і від самої фігури Ф. Звідси ясно, що центральне проектування дає найбільш наочне зображення просторових фігур.

На малюнку показано центральне проектування у разі, коли центр проектування розташований між фігурою Ф і площиною проектування. Таке перевернуте зображення виходить на плівці фотоапарата, об'єктив якого поміщений в центр проектування.

На малюнку показано центральне проектування у разі, коли фігура Ф розташована між площиною проектування і центром проектування. Приклади таких проекцій дають тіні предметів від близько розташованого точкового джерела світла. Такі проекції виходять на екрані при показі кінофільмів, діафільмів і т. д.

На малюнку 6 зображено куб в центральній проекції на площину, паралельну грані ABB 1 A 1.

На малюнку зображено куб в центральній проекції на площину, паралельну ребру BB 1, але не паралельну його гранях.

На малюнку зображено куб в центральній проекції на площину, що не паралельну жодному його ребру.

Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії

Зображення трикутника Будь – який трикутник (прямокутний, рівнобедрений, правильний) зображується довільним трикутником у зручному розташуванні на рисунку.

Якщо ∆А 1 В 1 С 1 – прямокутний, то зображення напрямків двох його висот (катетів ) задано. Довільно зображується висота, опущена на гіпотенузу, і центр вписаного кола. Зображення перпендикуляра, опущеного із заданої точки гіпотенузи на який–небудь катет, є відрізком, паралельним другому катету.

Якщо ∆А 1 В 1 С 1 – рівнобедрений то зображення медіани – B 1 D 1 є зображенням висоти і бісектриси ∆А 1 В 1 С 1. Зображення центра вписаного і описаного кіл належать BD.

Якщо ∆А 1 В 1 С 1 – правильний, то центри вписаного і описаного кіл співпадають і лежать в точці перетину медіани. Тому побудова цього трикутника не може бути довільною.

Зображення паралелограма Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб, то на зображенні визначається пара взаємно перпендикулярних прямих - це діагоналі ABCD. Тому довільно можна побудувати зображення лише однієї висоти з даної вершини ромба на його сторону. Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат, то його зображення ABCD (довільний паралелограм), до того ж зображення висот , бісектрис, кутів, перпендикулярів до сторін будувати довільно не можна.

Зображення трапеції Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – трапеція загального виду, то зображення її висоти та одного з перпендикулярів, що опущений з точки основи на бічні сторони, модна будувати довільно.

Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – прямокутна трапеція, то C 1 B 1 перпендикулярна A 1 B 1, зображення висоти трапеції уже задано на малюнку, тому довільно бути зображено тільки перпендикуляр до бічної сторони. Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – рівнобічна трапеція ( має вісь симетрії) , то зображенням висоти є відрізок, що з‘єднує середини верхньої і нижньої основ трапеції ( або йому паралельний).

Зображення кола Паралельною проекцією кола є еліпс. Центром кола на зображенні є точка перетину спряжених діаметрів еліпса. Два діаметри кола (еліпса) Називаються спряженими, якщо поділяє навпіл всі хорди, паралельні другому діаметру.

Зображення правильного шестикутника Правильний шестикутник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 зображується так: спочатку зображуємо довільний паралелограм BCEF та проводимо його діагоналі BE і CF ; потім від точки їх перетину О відкладаємо різні відрізки діагональної довжини (але більше половини сторони BC) паралельно сторонам BE і CF. Кінці побудованих відрізків – це вершини A і D.

Зображення просторових фігур Уявіть, що у вас є каркас об'ємного тіла - призми, піраміди або циліндра. Висвітлюючи його паралельним пучком світла, отримуємо зображення - тінь на стіні або на екрані. Зауважимо, що в різних ракурсах виходять різні зображення.

Розв’язання задач за допомогою паралельного проектування Задача № 1 Побудувати правильний шестикутник. Розв’язання Побудуємо сторони АВ І ВС. Для більшої наочності сторону ВС беремо меншу за АВ, а кут між цими сторонами – тупий. Через точку С ABCDEF – шукане проводимо пряму, паралельну АВ і зображення шестикутника. відкладаємо відрізки СО = OF = Справді, на зображенні протилежні AB. На прямих АО і ВО сторони попарно паралельні і рівні між відкладаємо відрізки ОD=AO і собою; три діагоналі перетинаються в одній OE=BO. Фігура точці, при чому кожна з них паралельна стороні і вдвічі більша від цієї сторони

Задача № 2 Діно паралельну проекцію рівнобедреного трикутника. Як побудувати проекції висот цього трикутника? Розв’язання Висота у рівнобедреному трикутнику, яку проведено на основу, є медіаною. Проекція медіани трикутника буду медіаною його проекції, оскільки середина сторони трикутника проектується в середину проекції цієї сторони. Висоти трикутника, опущені на бічні сторони, зображаємо довільними відрізками. Для подальшого використання паралельного проектування як метода зображення просторових фігур на площині (наприклад, для побудови перерізів многогранників) розглянемо «поведінку» двох прямих у просторі та результат їх зображення на площині.

Задача № 3. АК висота прямокутного трикутника АВС, СМ бісектриса, АО: ОК як 6: 5. Знайти відношення МО до ОС. Розв’язання 1) Так як СМ бісектриса, то АС : КС = =6 : 5 2) Проектуємо трикутник АВС в трикутник А 1 В 1 С 1 - правильний, так що АК => А 1 К 1 - бісектрису, висоту і медіану і СМ => C 1 M 1. 3) Так як А 1 К 1 – медіана, то С 1 К 1 = К 1 В 1 = 5 у => С 1 В 1 = 10 у, так як АВС – рівносторонній. 4) Так як СМ - бісектриса, то с: а = 10: 6 5) 8 у = 16 z => y = 2 z => M 1 B 1 = 5 y, A 1 M 1 = =3 y 6) Так як А 1 К 1 є бісектрисою те А 1 С 1: А 1 М 1 = С 1 О: М 1 О = 6: 3 або 2: 1 Відповідь: МО: ОС =1: 2