Скачать презентацию Основы теории множеств Содержание Основные понятия теории Скачать презентацию Основы теории множеств Содержание Основные понятия теории

Теория множеств.ppt

  • Количество слайдов: 35

Основы теории множеств Основы теории множеств

Содержание: Основные понятия теории множеств. 2. Формула количества подмножеств конечного множества. 3. Операции над Содержание: Основные понятия теории множеств. 2. Формула количества подмножеств конечного множества. 3. Операции над множествами. 4. Формула количества элементов в объединении нескольких (двух, трех) конечных множеств. 1.

Основные понятия 1. 2. 3. 4. 5. Элементы и множества Определения равенства множеств Конечные Основные понятия 1. 2. 3. 4. 5. Элементы и множества Определения равенства множеств Конечные и бесконечные множества Мощность множества. Пустое множество Способы задания множеств

Множество – это любая определенная совокупность объектов. Обозначают прописными буквами алфавита: Множество М Множество Множество – это любая определенная совокупность объектов. Обозначают прописными буквами алфавита: Множество М Множество А Множество Q и т. д.

Объекты, из которых составлено множество, называют его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг Объекты, из которых составлено множество, называют его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга Обозначают строчными буквами алфавита.

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: х М. В противном случае говорят, что х не принадлежит М. Обозначение: х М.

Понятие подмножества Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является Понятие подмножества Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначение: А В.

Определения равенства множеств I Множества А и В равны (А=В), если их элементы совпадают. Определения равенства множеств I Множества А и В равны (А=В), если их элементы совпадают. II Множества А и В равны, если А В и. В А

В конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U, В конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U, которое называется универсальным множеством (или универсумом)

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечным, в противном случае – бесконечным. Например, Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечным, в противном случае – бесконечным. Например, множество цифр счетное и конечное, а множество целых чисел– счетное, но не конечное.

Число элементов в конечном множестве М называется его мощностью и обозначается |М|. Множество не Число элементов в конечном множестве М называется его мощностью и обозначается |М|. Множество не содержащее элементов, называется пустым. Обозначение: .

Способы задания множеств Ø Перечислением элементов: М : = {а 1, а 2, …, Способы задания множеств Ø Перечислением элементов: М : = {а 1, а 2, …, аk}; ØХарактеристическим свойством: М : = { x | P(x) }; ØПорождающей процедурой: М : = { x | x : = f }; пример

Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3, … Перечислением элементов: Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3, … Перечислением элементов: Списком это множество задать нельзя ввиду его бесконечности; Ø ØХарактеристическим свойством: N : = { n | n– целое положительное число }; ØПорождающей процедурой: N : = { n| 1 N & если n N, то n+1 N };

Множество всех подмножества М называют булеаном. Булеан включает в себя пустое подмножество и множества, Множество всех подмножества М называют булеаном. Булеан включает в себя пустое подмножество и множества, сформированные из одного, двух, трех и т. д. до общего числа элементов множества М. Булеан множества обозначают (М). Для конечного множества М: | (М)|= 2|M|.

Упражнения Задать различными способами множество А всех четных чисел 2, 4, 6, …, не Упражнения Задать различными способами множество А всех четных чисел 2, 4, 6, …, не превышающих 20. 2. Пусть U = {a, b, c}. Определить в явном виде (перечислением всех элементов) булеан множества U. Какова мощность этого множества? 1.

Операции над множествами: объединение, 2. пересечение, 3. разность, 4. дополнение, 1. пример Операции над множествами: объединение, 2. пересечение, 3. разность, 4. дополнение, 1. пример

Операция объединение М = A B : = { x | x A x Операция объединение М = A B : = { x | x A x B}

Операция объединение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, Операция объединение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда A B : = {1, 2, 3, 4, 5}

Операция пересечение М = A B : = { x | x A & Операция пересечение М = A B : = { x | x A & x B}

Операция пересечение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, Операция пересечение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда A B : = {3}

Операция разность М = A B : = { x | x A Операция разность М = A B : = { x | x A & x B}

Операция разность Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, Операция разность Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда A B : = {1, 2}

Операция дополнение М = A =U A : = { x | x Операция дополнение М = A =U A : = { x | x A & x U}

Операция дополнение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, Операция дополнение Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А ={1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда A : = {6, 7}

Определения операций над множествами Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех Определения операций над множествами Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат А, которые не содержатся в В. Дополнением (до U ) множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U).

Упражнения 3. Пусть U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A Упражнения 3. Пусть U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g, h}. Осуществить операции над множествами: a) A B, b) A B, c) A, d) B, e) A B, f) B A.

Упражнения 4. Пусть U = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3, 4}, Упражнения 4. Пусть U = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Найти: a) A B, b) A B, c) A B, d) (B А) С.

Познакомимся с задачами, при решении которых используются круги Эйлера. В одном башкирском селе каждый Познакомимся с задачами, при решении которых используются круги Эйлера. В одном башкирском селе каждый житель говорит или по башкирски, или по русски, или на обоих языках. 912 жителей села говорят по башкирски, 653 по русски, причем 435 человек говорят на обоих языках. Сколько жителей в этом селе? Применим круги Эйлера. Через А обозначим множество жителей села, которые говорят по башкирски, через В — множество жителей, которые говорят по русски. по условию: | А | =912, | B | = 653, | A∩B | = 435.

Нам нужно найти число элементов в объединении множеств А и В. Прежде всего сложим Нам нужно найти число элементов в объединении множеств А и В. Прежде всего сложим числа | А | и | В |. Но при этом элементы, входящие в пересечение множеств А и В, считаются дважды. Следовательно, из этой суммы нужно вычесть | А∩В |. Получаем : |AUB | = | А | + | В | - | А∩В |. Подставим в формулу значения | А |, | В | и | А∩В | : | АUВ | = 912+653 -435 = 1130. Ответ: 1130 пример

Большая группа туристов выехала в заграничное путешествие. Из них владеют английским языком 28 человек, Большая группа туристов выехала в заграничное путешествие. Из них владеют английским языком 28 человек, французским 13, немецким 10, английским и французским 8, английским и немецким — 6, французским и немецким — 5, всеми тремя языками — 2, а 41 человек не владеет ни одним из трех языков. Сколько туристов в группе? Обозначим множество туристов группы, которые владеют английским, французским или немецким языком, соответственно через А, В и С. по условию: | A | = 28, | В | = 13, | С | = 10, | A ∩ B | = 8, | A ∩ С | = 6, | B ∩ С | = 5, | A ∩ B ∩ С | = 2.

Сначала найдем число туристов, которые владеют по мень шей мере одним из трех иностранных Сначала найдем число туристов, которые владеют по мень шей мере одним из трех иностранных языков, т. е. |А U В U С|. Подсчитаем сумму |А|+|В|+|С|. Так как в нее каждое из чисел |A∩B|, |A∩С| и |B∩С| вошло слагаемым два раза, то от этой суммы нужно отнять сумму | A ∩ B | + | A ∩ С| + | B ∩ С|. Теперь выясним, сколько раз в полученное выражение |А|+|В|+|С| |A∩B| |A∩С| |B∩С| входит слагаемым число |A∩B∩C|. Оно входит в эту сумму три раза со знаком плюс (в каждое из слагаемых |А|, |В| и |С| и три раза со знаком минус (в каждое из слагаемых |А∩В|, |А∩С| и |В∩С|. Следовательно, для того чтобы не потерять тех туристов, которые входят во множество А∩В∩С, нужно еще прибавить число |А∩В∩С|. Получаем: |А U В U С| = |А|+|В|+|С|- |A∩B| - |A∩С| - |B∩С| + |А∩В∩С|. Тогда: |А U В U С| = 28 + 13 + 10 8 6 5+2 = 34. Значит, общее число туристов группы равно 34+41 = 75. Ответ: 75.

Формула количества элементов в объединении нескольких конечных множеств Для двух множеств: |A B|=|A|+|B|-|A B| Формула количества элементов в объединении нескольких конечных множеств Для двух множеств: |A B|=|A|+|B|-|A B| Для трех множеств: |A B С|=|A|+|B|+|С|-|A B|-|В С|-|A С|+ |A B С|

Упражнения 5. Множество А имеет 100 элементов, являющихся натуральными числами, каждое из которых делится Упражнения 5. Множество А имеет 100 элементов, являющихся натуральными числами, каждое из которых делится или на 2, или на 3, причем 70 элементов из А делятся на 2 и 48 на 3. Сколько элементов множества А делятся на 6? 6. В течение некоторого времени число дождливых дней было равно 10, ветреных — 8, холодных — 6, дождливых и ветреных — 5, дождливых и холодных — 4, ветреных и холодных — 3 и, наконец, дождливых, ветреных и холодных — 1. Сколько было всего дней с плохой погодой?

Упражнения 7. Контрольная работа по математике в пятом классе состояла из задачи, уравнения и Упражнения 7. Контрольная работа по математике в пятом классе состояла из задачи, уравнения и числового примера. Работу писали 36 учеников. Правильно решили только задачу 2 человека, только уравнение — 4, только пример — 7. Не решили только задачу 8 человек, только уравнение — 5, только пример — 3. Остальные ученики выполнили всю работу правильно. Сколько таких учеников? 8. Пол комнаты площадью 18 м 2 покрыт тремя коврами. Площадь одного ковра — 6 м 2, другого 5 м 2 и третьего — 4 м 2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1 м 2, причем все три ковра перекрываются на площади 0, 5 м 2. Какова площадь части пола, не покрытой коврами?

Упражнения В отчете о работе одного отдела научно исследовательского института указывалось, что в отделе Упражнения В отчете о работе одного отдела научно исследовательского института указывалось, что в отделе работают 17 человек, при чем 10 из них знают немецкий язык, 13 — английский и француз ский, 2 — немецкий, английский и французский языки. Докажите, что в этих данных имеется ошибка. 10. На занятии физического кружка, насчитывавшего 10 членов, учитель спросил, выписывают ли члены кружка журналы "Квант" (К), "Техника молодежи" (Т) и "Юный техник" (Ю). Оказалось, что 6 человек выписывают К, 5 — Т, 5 — Ю, 3 — К и Т, 3 — К и Ю, 2 — Т и Ю, а один человек не выписывает ни одного из трех журналов. Сколько членов кружка выписывают только один журнал? Два? Все три журнала? журнала 9.