«ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ» 1

Формальные и эвристические методы математического моделирования Методы получения математических моделей можно представить двумя группами: формальные методы, эвристические методы. 2

Формальные методы получения математических моделей К этой группе относятся методы получения полных математических моделей систем из заданных математических моделей элементов. Эти модели могут быть полностью формализованы и инвариантны ко многим техническим объектам. 3

Аналитическое представление линий и фигур Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через данную точку (x 1, y 1): 4 k

График прямой (уравнение с угловым коэффициентом) k = tg φ 5

Аналитическое представление линий и фигур Уравнение прямой в отрезках: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2) : 6

График прямой (уравнение прямой в отрезках) 7

Аналитическое представление линий и фигур Уравнение параболы с параметром (каноническое уравнение параболы): где p – параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы. Парабола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы). 8

График параболы Фокус Директриса 9

Аналитическое представление линий и фигур Уравнение гиперболы с фокусным расстоянием с (каноническое уравнение гиперболы): где а – расстояние от начала координат до вершин гиперболы (действительная полуось); b – мнимая полуось; c – расстояние от начала координат до фокусов гиперболы. Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы) является постоянным. 10

График гиперболы 11

Аналитическое представление линий и фигур Уравнение окружности с центром в точке (a, b): 12

Аналитическое представление линий и фигур Каноническое уравнение эллипса: где a и b – полуоси эллипса, a 2 + b 2 = c 2 c – фокальное расстояние т. е. расстояние от начала координат до фокусов эллипса. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1, и F_2 есть величина постоянная (2 a), бо льшая расстояния (2 c) между этими заданными точками. 13

Графики эллипса и окружности 14

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса 15

Эвристические методы построения математических моделей в САПР одежды Эвристические методы – последовательность предписаний или процедур обработки информации, выполняемая с целью поиска более рациональных и новых конструктивных решений. 16

Эвристические методы построения математических моделей в САПР одежды Эвристические методы используют, когда отсутствуют численные методы или их применение неэффективно из-за длительности решения и необходимости сбора большого количества исходных данных. Эвристика позволяет получить возможные варианты решения интуитивным путем. 17

Математические модели расчета и описания контуров деталей конструкций одежды На этапе математической обработки и хранения геометрической информации о лекалах швейных изделий выполняются следующие задачи: математическое описание контуров лекал в удобном и компактном виде, основанное на использовании методов аппроксимации; o геометрическое преобразование плоскостного отображения лекал из одной формы в другую, включающее операции сдвига изображений, сжатия или растяжения, поворота, отсечения части изображения, перекоса и т. д. o 18

В условиях САПР одежды геометрическая информация о контурах поступает в ЭВМ в виде набора координат дискретных точек лекал. Традиционно для математического описания контуров криволинейных участков лекал используются методы: o интерполяции, o экстраполяции, o аппроксимации. 19

Интерполяция в простейшем смысле — это конструктивное восстановление функции определенного класса по известным ее значениям. 20

Экстраполяция в простейшем смысле — это прогнозирование значений функции определенного класса за пределами интервала по известным ее значениям внутри этого интервала. 21

Аппроксимация — это замена одних математических объектов другими, близкими к исходным. В геометрическом проектировании аппроксимация сводится к замене дискретно заданного контура лекал кривыми, которые могут быть выражены через известные функциональные зависимости. 22

Кусочно-аналитическая модель контуров криволинейных участков лекал Так как швейные лекала имеют разнообразную сложную конфигурацию, описать единым уравнением весь контур практически невозможно, поэтому аналитическое описание дается на отдельные расчлененные участки. Кусочноаналитическая модель, используемая для этих целей, представляет собой совокупность аналитических описаний простых участков и структуру соединений этих участков. 23

Кусочно-линейная аппроксимация При кусочно-линейной аппроксимации осуществляется замена участков криволинейного контура отрезками прямых. При этом отклонение аппроксимирующих отрезков от исходных линий контура, называемое погрешностью аппроксимации, должно быть меньше заданной величины Δ. В результате аппроксимации контур или другие замкнутые линии швейного лекала заменяются многоугольниками, вершины которого называются узлами аппроксимации. 24

Линейно-круговая аппроксимация осуществляется путем проведения окружностей через последовательно расположенные тройки точек. При аппроксимации дугами окружностей необходимо верно подобрать радиусы искомых окружностей Rиск. 25

Аппроксимация контуров способом биарок Для получения при аппроксимации более гладкой контурной линии может быть использован способ гладкой окружностной интерполяции, называемый способом биарок. 26

Аппроксимация контуров способом биарков При аппроксимации через два соседних участка контура строится пара сопрягающихся дуг окружностей так, чтобы дуга С 1 проходила через точку P, касаясь вектора m 1, а дуга С 2 проходила через точку Р, касаясь вектора m 2. Общая кривая, составленная из двух дуг, называется биарком. 27

Аппроксимация контура способом биарков P m 2 R 2 m 1 R 1 28

Математическое описание контуров с помощью сплайн-аппроксимации Наиболее экономичной (позволяющей с большей точностью воспроизвести контур при минимуме исходной информации о нем) признана аппроксимация кубическими сплайнами, обладающими важным свойством локальности, при котором неудачное задание координат на каком-либо участке кривой в результате аппроксимации приводит к искажению только этого участка. 29

Математическое описание контуров с помощью сплайн-аппроксимации Термин "сплайн" возник от назначения чертежного инструмента — тонкой металлической линейки, которая может изгибаться так, чтобы проходить через заданные точки. Математические сплайны берут свое начало от тонких гибких стержней, которыми пользовались чертежники для проведения плавных кривых через заданные точки. Стержень закреплялся в точках (xi, yi) и принимал форму кривой y(x). 30

Математическое описание контуров с помощью сплайн-аппроксимации у = a i x 3 + b i x 2 + c 0 x + d Участок кубического интерполирующего сплайна 31

Спасибо за внимание! 32