Основы линейной алгебры Матрицы Матрицей размерности

Основы линейной алгебры

Матрицы

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. mnmm n n aaa aaa A 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa А 21 22221 11211 ijа. A mii 1 njj 1 где указывает номер строки , а номер столбца. Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде : Сокращенно матрица А записывается в виде: илиили

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. 0. . . 00 О

iaii, 1 1000 0100 0010 0001 E Единичная матрица Е – это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны единице, т. е.

Пример 651 032 А 151 410 B 702 442 BАС

Пример 651 032 А 3153 1230 3 А 2101 С 42022 С

Пример 651 032 А 151 410 BВычислить 4 А — 3 B , если Решение: 4 А — 3 B = 4 А + (-3) B 151 410 )3(

4. Умножение матриц Опр. 17. Произведение матрицы А на матрицу В, определено тогда и только тогда , когда число столбцов первой матрицы А совпадает с числом строк второй матрицы В , и в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В для умножения. ), ( ijknijnm b. Ba. A Если тогдаkmknnm. CBА kjmi bababac njinjijiij , . . . , 1; , . . . , 1 , . . . 2211 Итак, элемент i -той строки и j -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.

Найти произведение матриц А B и BA 43 21 А 100 312 B Решение: Произведение матриц А B существует, т. к. матрица А имеет размерность 2 х2, а матрица B – 2 х3, и число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B. Произведение матриц BA не существует. 1336 512 100 312 43 21 АBС с 11 = 1· 2+2 · 0 = 2 с 12 = 1· 1+2 · 0 = 1 с 13 = 1· 3+2 · 1 = 5 с 21 = 3· 2+4 · 0 = 6 с 22 = 3· 1+4 · 0 = 3 с 23 = 3· 3+4 · 1 = 13 Пример

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

При вычислении определителя 3 -го порядка удобно пользоваться правилом треугольников или правилом Сарруса. 333231 232221 131211 aaa aaa «+» « »

Пример Вычислить определители матриц: 33 det. A 114)2(31 34 21 det B 160011)1(0242 2)1(0201041 002 141 201 det

Опр. 2. Минором элемента a ij матрицы n -го порядка A называется определитель матрицы ( n -1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij. Минор элемента a ij обозначается М ij 31233321 3331 2321 12 aaaa aa aa M 333231 232221 131211 aaa aaa aaa А 32233322 3332 2322 11 aaaa aa aa M лат. minor — меньший

Пример. Найти миноры M 11 , M 32 , M 43 2102 1001 4132 0102 A 210 100 413 11 M 2102 1001 4132 0102 A 212 412 012 32 M 101 432 002 43 M

Опр. 4. Алгебраическим дополнением элемента а ij матрицы n -го порядка А называется число, равное (-1) i+j M ij и обозначаемое символом А ij : А ij = (-1) i+j M ij где i =1, 2, … n ; j =1, 2, …, n. Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столбца – нечетное число. 1111 11 111 MMA 1212 21 121 MMA 2222 MA 2121 M

Определитель n- го порядка матрицы Аn равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения. для строки : = a i 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +…+ aij Aij +…+ ain Ain , ( i = 1; 2; …; n ); для столбца : =a 1 j A 1 j +a 2 j A 2 j +. . + aij Aij +…+ anj Anj , (j = 1; 2; …; n ). nnnjnnn inijiii nj njaaaaa A. . . . . det

16 02 01 )1()1( 02 21 )1(4 00 20 )1(1 )1(41 002 141 201 det 322212 232221 AAAA Пример 002 141 201 A По 2 -ой строке:

16 41 01 )1(0 02 01 )1()1( 02 41 )1(2 002 141 201 det 3332313 AAAAПример 002 141 201 A По 3 -му столбцу:

Определитель n -го порядка треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Определитель n -го порядка единичной матрицы E равен 1. nn nnnnnn nnaaa aa aaa

Ранг матрицы

Элементарными преобразования матрицы называются : 1. Транспонирование (замена строк столбцами) 2. Перестановка строк и столбцов. 3. Умножение некоторой строки (столбца) на число, отличное от нуля. 4. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Теорема о ранге матрицы

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Опр. 1. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если АА -1 = А-1 А = Е Матрицы А и А -1 взаимно-обратны ( А-1 ) А = А

Всякая невырожденная матрица Аn имеет обратную матрицу А -1 , причем где А ij – алгебраические дополнения элементов a ij ( i=1, …, n; j=1, …, n) матрицы А. nnnn n n AAA ААА А А. . . . .

Пример Найти матрицу, обратную к данной: 43 21 А Решение: Т. к. | А | =-2≠ 0, то матрица А – невырожденная и имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения A ij : 44)1( 11 11 А 33)1( 21 12 А 11)1( 22 22 А 22)1( 12 21 А Вычислим обратную матрицу (Т. 2): 5, 05, 1 12 13 24 211 А Для проверки правильности вычисления обратной матрицы необходимо убедиться в выполнении равенства: АА -1 =Е.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Опр. Системой m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) называется система уравнений где x 1 , x 2 , … x n – неизвестные, подлежащие определению; числа a ij , i =1, 2, … m ; j =1, 2, . . n называются коэффициентами системы, а числа b i — ее свободными членами. Число уравнений системы не обязательно совпадает с числом неизвестных, возможны следующие случаи : m>n , m=n , m<n. . . . , . . . 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa

Опр. Матрица А составленная из коэффициентов СЛУ называется основной матрицей системы. mnmm n n nm aaa aaa А. . . . .

Опр. Матрицы X и B называются матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов. . , 21 21 nn bbb B xxx X

Матричная форма записи СЛУ: BАX

33 Пример. Записать в матричной форме 4 xx 3 x , 0 x 2 x , 3 xx , 0 xx 3 x

Решение Обозначим Следовательно, имеем AX = B. 4 0 3 0 , , 131 021 101 132 321 B x x x X

Рассмотрим частный случай неоднородной системы, когда m=n , т. е. систему вида nnnnnn nn nn bxaxaxa. . . , . . . 2211 22222121 11212111 Определитель | А | основной матрицы системы . 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn nn aaa aaa A В этом случае система линейных уравнений называется невырожденной.

Пример. Решить систему. 2 0 1 , , 341 213 121 где , или. 234 ; 023 ; 12 3 2 1 321 321 B x x x XA BAX xxx xxx

Решение. т. е. исходная система трех неоднородных линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение. . 030228 42 17 )1(1 420 170 121 341 213 121. Найдем 11 A А Найдем единственное решение системы матричным методом Х=А — 1 В. Найдем теперь обратную матрицу А -1 , для этого найдем алгебраические дополнения:

7 13 21 )1( 1 23 11 )1( 5 21 12 )1( 2 41 21 )1( 4 31 11 )1( 10 34 12 )1( 13 41 13 )1( 11 31 23 1 5 34 21 )1(

30 7 15 1 30 13 30 1 15 2 30 11 6 1 3 1 6 1 7213 1411 5105 30 11 AСледовательно, обратная матрица равна

30 13 6 1 2 0 1 30 7 15 1 30 13 30 1 15 2 30 11 6 1 3 1 6 1 XНайдем теперь решение системы

Проверка ). 30 1 ; 3013 ; 61 ( : Ответ верно. найдено системы решение 2. 2 , 2 30 1 3 3013 4 61 0. 0 , 0 30 1 2 3013 61 3. 11 ,

Правило Крамера). , . . . , 2, 1( кратко или ; . . . ; ; 2 2 1 1 nj A A x j j n n Согласно правилу Крамера, если | A | ≠ 0, то единственное решение СЛУ вычисляется по следующим формулам: Определители | A | j получаются из определителя | A | заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Найдем теперь решение системы по правилу Крамера. 30 1 , 30 13 , 6 1 30 5 Итак, 1 01 13 )1(1 001 013 121 241 013 121 ; 13 51 23 )1(1 501 203 111 321 203 111 ; 5 500 210 121 342 210 121 где , , , 321 31 3 21 2 1 3 3 2 2 1 1 xxx A A A x

МЕТОД ГАУССА

Элементарными называются следующие преобразования системы: 1. Перестановка местами двух уравнений системы. 2. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля. 3. Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, предварительно умноженного на некоторое число. 4. Изменение порядка следования неизвестных.

Пример. Решить систему=++ =+. 2 x 3 x 4 x ; 0 x 2 xx 3 ; 1 x-x 2 x