ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Лекции № 4-5.

Содержание лекций № 4-5: 1.Осреднение по времени при экспериментальных исследованиях турбулентности. 2.Спектральное разложение. Частотный спектр мощности. 3. Разложение Фурье-Стильтьеса. 4. Спектры турбулентности. Волновой спектр. Частотно-волновой спектр. Аэродинамические 1.

Содержание лекций № 4-5 5. Взаимосвязи корреляционных и спектральных функций. Схема взаимосвязей. 6.Масштабы времени и длины. 7. Об уравнениях турбулентности. Проблема замыкания. Спектральная форма уравнений. 8. Моделирование статистических характеристик.

Развитие Вычислительной аэрогидродина- мики, разработка и внедрениt современных методов математического моделирования в практику аэродинамического проектирова- ния в авиационной промышленности потребовало применения современных численных алгоритмов расчета обтекания самолетов на основе решения уравнений Навье-Стокса. Развиваются технологии многоточечного автоматического оптимального аэродинамического проектирования и газодинамического анализа трехмерных аэродинамических крыльев произвольной формы в плане в широком диапазоне условий полета.

Разработатка надежных, точных и вычислительно-эффективных программных продуктов, предназначенных для аэродинамического дизайна и газодинамического анализа летательных аппаратов в авиационной промышленности, основана на современных разделах науки, таких как Численные методы газовой динамики, Введение в вычислительную гидродинамику, Трехмерные задачи сверхзвуковой аэродинамики, Методы параллельных вычислений.

Необходимым условием прогресса вычислительной аэродинамики является знание моделей турбулентных течений. Это те модели, которые мы рассматриваем в этом курсе лекций: корреляционные функции частотные спектры мощности взаимные по простанству спектры частотно-волновые спектры

О возможности использовать временное осреднение Во многих практических приложениях, использующих только корреляционное описание случайных процессов, достаточно стационарности в смысле Хинчина, чтобы считать исследуемый процесс эргодичным. В переводе с греческого «Эргос» значит работа, «Одос» - путь. Тогда эргодический – путь работы или энергии.

Стационарность в смысле Хинчина Если процесс стационарен лишь в отношении моментов не выше второго порядка (корреляций), то его называют стационарным в широком смысле. В научной литературе можно встретить такое определение: говорят, что случайный процесс стационарен в смысле Хинчина.

При экспериментальном исследовании нестационарных турбулентных процессов в самом общем случае невозможно использовать временное осреднение. В этом случае единственная возможность измерения статистических характеристик состоит в осреднении пульсаций по достаточно большому ансамблю реализаций. Поэтому необходимо, выполняя экспериментальные исследования, обеспечить многократное воспроизведение нестационарного потока при внешне одинаковых условиях.

Корреляционную функцию пульсаций турбулентного потока всегда можно считать стремящейся к нулю при неограничном увеличении временного сдвига - т.е. при неограниченном удалении точек наблюдения друг от друга статистическая связь ослабевает. Тогда для установившихся течений средние по ансамблю любых турбулентных полей могут быть определены с помощью осреднения по достаточно большому интервалу времени.

Существует, однако, возможность некоторые нестационарные процессы свести при измерениях к стационарным, выделив в случайном процессе с помощью специальных приемов ту часть, которая является эргодической. К числу таких процессов относится, в частности, аддитивный нестационарный процесс со стационарным приращением: (1-27) Нестационарные процессы

для которого среднее (по ансамблю) значение является линейной функцией времени. В (1-27) а — действительная случайная величина,  - стационарный случайный процесс с нулевым средним. При этом а и  статистически независимы. Можно показать, что производный случайный процесс (1-28)

который можно получить, измеряя разность нестационарных флуктуаций f (t), отстоящих друг от друга во времени на интервал , является стационарным процессом в широком смысле. Даже в том случае, когда нестационарная аддитивная добавка в случайном процессе зависит от времени произвольным, а не линейным, как в (1-27), образом, все-таки представляется возможным рассматривать процесс (1-28) как приближенно стационар ный для интервалов , много меньших, чем характерное время изменения нестационарной добавки.

При исследовании локальной структуры турбулентных течений в атмосфере и океане часто турбулентность рассматривают как случайные поля со стационарными приращениями. При их исследовании обычно пользуются осредненным по времени квадратом стационарной функции (1-28) – случайная функция предварительно центрирована относительно своего среднего значения - : (1-29)

где функция Функция (1-29) впервые была введена в рассмотрение А. Н. Колмогоровым в статье 1941 г. и получила название структурной. Структурная функция является основной характеристикой случайного процесса со стационарным приращением, выполняющей в некотором смысле роль корреляционной функции в стационарном процессе.

Структурная функция Физический смысл структурной функции D() состоит в том, что она характеризует, грубо говоря, интенсивность тех флуктуаций f (t), период которых меньше или сравним с , в то время как корреляционная функция R(), главным образом характеризует интенсивность флуктуаций с периодом  и больше.

Структурные функции, разумеется, пригодны для исследования и стационарных процессов. В этом случае между структурными и корреляционными функциями существует простая взаимосвязь: где сигма  в квадрате – дисперсия флуктуаций стационарного случайного процесса.

1-4. Спектральное разложение Моменты распределения, и, в частности, корреляционные функции, являются при изучении статистики турбулентных пульсаций куда более частыми объектами измерений, чем функции распределения вероятностей. Существует, однако, еще один класс функций, которые при экспериментальных исследова- ниях турбулентности не менее «популярны», чем моменты. Это спектры. Рассмотрим применение к случайным функциям методов гармонического анализа.

Частотный спектр Формально частотный спектр P() тех или иных случайных турбулентных пульсаций p(t) , обладающих свойством стационарности, вводится посредством корреляции R()=

этих пульсаций с помощью преобразования Фурье [Хинчин А.Я. Теория корреляции стационар ных случайных процессов - УМН, 1938, вып. 5]: (1-30)

где через  обозначена круговая частота. Так как корреляция R() стационарного процесса симметрична относительно задержки времени  , то спектр (1-30) есть вещественная функция частоты и его можно представить еще и так:

Справедливо и обратное преобразование Фурье: откуда для частного случая при  =0 получим:: (1-31)

Полученное соотношение (1-31) позволяет уяснить физический смысл функции P(ω). Оно показывает, что мощность рассматриваемых турбулентных пульсаций, численно равная их дисперсии σ2 , есть сумма мощностей отдельных гармонических составляющих этих пульсаций. Это важно, т.к. на этом основании частотный спектр P(ω) называют спектром мощности. Более строгое доказательство того, что Фурье-преобразование корреляции стационарного процесса представляет собой частотное распределение мощности этого процесса, содержит специальная теорема, доказанная Хинчиным.

Следует уточнить смысл только что использованного представления о сумме мощностей отдельных гармонических составляющих, поскольку для турбулентных пульсаций частотный спектр P ()— всегда сплошная, а не дискретная функция частоты. Любой конечный интервал частот от  до  +∆ сплошным образом заполнен бесконечным числом гармонических составляющих,

Мощность каждой из гармонических составляющих исчезающе мала, так что о конечной мощности можно говорить только для совокупности гармонических составляющих, заполняющих полосу . Другими словами, величина P()∆ выражает вклад, вносимый в дисперсию σ2 частотами, лежащими в полосе ∆ в окрестности . Впрочем, это уточнение не слишком меняет элементарное представление о простой суперпозиции гармоник.

Физический смысл спектральной плотности P () настолько прозрачен, что возникает естественное стремление произвести гармонический анализ самого случайного процесса турбулентных пульсаций p (t) с целью непосредственного сопоставления частотного спектра - спектральной функции (1-30) с квадратом амплитуд гармонических составляющих функции p (t) .

Оказывается, однако, что стационарная пульсация p (t) не может быть непосредственно разложена в интеграл Фурье, так как не выполняется одно из непременных условий такого разложения: не сходится интеграл от ∣p (t)∣ по времени. В самом деле, подынтегральное выражение ∣p (t)∣ неотрицательно; а интервал интегрирования бесконечен, поскольку по определению стационарности случайный процесс турбулентных пульсаций p (t) продолжается вечно.

Нетрудно понять, что вечно протекающие процессы не более чем математическая абстракция. В действительности мы всегда имеем дело с процессами, имеющими начало и конец. Во всяком случае, они всегда представляются такими наблюдателю, но это обстоятельство обычно не является препятствием для их гармонического анализа. Например, имеются все основания считать правомерным приборный Фурье-анализ турбулентных пульсаций, возникающих в потоке аэродинамической трубы при установившейся режиме ее работы,

несмотря на то, что эта экспериментальная установка была включена утром и будет выключена вечером. Итак, если мы условимся считать функцию p (t) тождественно равной нулю вне интервала 0 -T, где время T велико, но конечно, тогда отпадает препятствие для ее гармонического анализа, т. е. разложения в интеграл Фурье: (1-32)

Здесь ради удобства дальнейших выкладок принят интервал времени T√2 вместо T. Видно, что амплитуды φT (,t) гармоник зависят от выбранного интервала времени, внутри которого процесс p (t) по соглашению существует, и эта субъективная «окраска» амплитуд несколько снижает, как мы увидим ниже, их информативную ценность. Кроме того, очевидно, что φT (,t) является, наряду с p (t), случайной функцией, хотя, в отличие от p (t) , и нестационарной.

В самом деле, величина φT (,t) должна случайным образом меняться от реализации к реализации или, что то же самое, при изменении местоположения начала интервала интегрирования на временной оси данной реализации, на что и указывает параметр t в обозначении φT (,t). Следует, впрочем, ожидать, что интегрирование (1-32) по достаточно большому интервалу времени T приведет к сглаживающему эффекту, в результате чего с ростом зависимость φT (,t) от t будет ослабевать.

Вернемся, однако, к первоначальной цели: сопоставим спектральную функцию P (), полученную преобразованием Фурье (1-30) корреляционной функции R (), с квадратом амплитуд φT (,t), т. е. с энергией гармоник, полученных преобразованием Фурье (1-32) самого случайного стационарного процесса p (t). Для этой цели нам потребуется средний (по ансамблю реализаций) квадрат только модуля амплитуд,

поскольку знание фазы колебаний излишне при исследованиях энергетической стороны явления. Обозначив через φT (,t) комплексно-сопряженную амплитуду, можно записать:

При получении этого результата были введены новые переменные интегрирования  = t1-t2 и t=t1+t2 аналогично тому, как это делалось при вычислении интегралов в выражении (1-21). Умножая полученное равенство на 2π/T и переходя к пределу при T→∞ , будем иметь: (1-33)

В стационарном эргодическом процессе, для которого, как известно, интегральный масштаб времени имеет конечное значение, корреляция R() при больших  убывает быстрее, чем  -1. Из этого следует, что второе слагаемое в правой части (1-33) стремится к нулю при T→∞. Поэтому искомая связь между спектральной плотностью мощности турбулентных пульсаций и гармониками - их Фурье-амплитудами имеет вид (1-34)

Ценность полученного результата состоит не только в том, что удалось установить искомою связь, но прежде всего в том, что он указывает пути построения и использования приборов, позволяющих по измеренным амплитудам пульсаций определять спектральную плотность их мощности. При этом, разумеется, могут быть использованы лишь конечные интервалы T времени наблюдения за амплитудами, что приводит к измерению спектральной плотности, осредненной на некотором интервале частот ∆  ≈ 2π/T.

Здесь мы сосредоточимся на представлении о распределении энергии случайного процесса по его спектру. Из (1-34) также следует, что сама амплитуда φ T (,t), полученная с помощью Фурье-преобразования (1-32), весьма неудобна в аналитических исследованиях. Действительно, из (1-34) видно, что амплитуда в пределе пропорциональна корню квадратному из условно выбираемого интервалаT времени Разложение Фурье — Стильтьеса

- времени наблюдения за амплитудами и вместе с ростом последнего также неограниченно увеличивается. Поэтому при гармоническом анализе стационарных случайных процессов правильным с математической точки зрения является использование не интеграла Фурье, а спектрального разложения специального вида — стохастического интеграла Фурье - Стильтьеса: (1-35)

где Z() – комплексная случайная функция - некоторый новый стационарный процесс, выражаемый через исходный с помощью интегрального преобразования: (1-36) Дифференциалы dZ() могут рассматрива- ться как комплексные случайные амплиту- ды компонент Фурье для процесса p (t), соответствующие круговым частотам .

Эти амплитуды лишены недостатков, присущих амплитудам φ T (,t), в том смысле, что они не зависят от субъективно назначаемого интервала времени T , поскольку преобразование (1-36) в отличие от (1-32) допускает предельный переход при T→∞ . Процесс Z () обладает свойством ортогональности приращений, так что дифференциалы dZ() на неперекрывающихся частотных интервалах некоррелированы:

Связь между средним квадратом амплитуды dZ () и частотным спектром мощности P () выражается иначе, чем в (1-34), а именно: (1-37) Из (1-37) энергетический смысл амплитуд dZ () особенно ясен: они характеризуют мощность процесса p (t) в окрестности частоты  в полосе частот d .

Волновой спектр Волновой спектр. Аналогично тому, как при рассмотрении стационарного процесса p (t) был введен частотный спектр мощности P () при рассмотрении однородного по пространству процесса (случайного поля) p (x), можно ввести волновой спектр мощности B (k): (1-38)

здесь - корреляция пульсаций для двух точек пространства, разделенных вектором ξ с проекциями ξ1, ξ2, ξ3, а k — волновой вектор, компоненты которого k1,k2,k2 связаны с длинами волн λi соотношением ki = 2π/λi Волновой спектр B(k) можно выразить через модуль комплексных амплитуд dZ (k) Фурье — Стильтьеса почти таким же образом, как и в (1-37):

Различные пространственные гармоники с амплитудами dZ (k) , имеющие разные длины волн, пропорциональные ∣k∣-1, можно трактовать как различные степени свободы турбулентного движения. Турбулентность есть, по существу, результат наложения большого числа разномасштабных составляющих движений, энергии которых входят в общую энергию как слагаемые.

При этом чем выше для турбулентного потока число Рейнольдса Re = UL/ν, (U,L - характерные скорость и размер потока, - кинематическая вязкость среды), тем большим числом степеней свободы обладает турбулентное течение. Приведем пример для атмосферной турбулентности, где числа Рейнольдса особенно велики.

Для атмосферной турбулентности спектр масштабов, соответствующих различным степеням свободы, может достигать 28 октав [из монографии Ламли, Пановски]. Это означает, что наиболее крупномасштабные компоненты такой турбулентности отличаются от самых мелкомасштабных примерно в 250 миллионов раз.

Имеются также все промежуточные масштабы, каждый из которых статистически независим от своих не слишком близких соседей по волновому) пространству, т. е. некоррелирован с ними: Данное условие и дает основание рассматривать эти масштабы как независимые степени свободы турбулентности.

Впрочем, статистическая независимость, характеризуемая нулевой корреляцией, означает отсутствие только линейных, а не любых взаимосвязей. Разномасштабные компоненты турбулентности взаимодействуют между собой по некоторым нелинейным законам, и само возникновение большого числа степеней свободы есть прямое следствие такого нелинейного взаимодействия.

Частотно-волновой спектр Рассматривая частотный P () и волновой B (k) спектры турбулентных пульсаций, мы намеренно игнорировали зависимость статистических характеристик этих пульсаций: сначала от пространственных координат, а затем — от временной координаты. Иначе говоря, мы в этом случае проводили спектральный анализ либо стационарного процесса в фиксированной точке пространства x (x1,x2,x3) , либо однородного поля в фиксированный момент времени t.

Естественным обобщением развитых выше представлений является спектральный анализ стационарных и однородных полей турбулентных пульсаций, предусматрива- ющий одновременное разложение этих полей на гармонические составляющие, характеризуемые как временной частотой (или временным периодом), так и волновым числом (или длиной волны). Если

функция пространственно-временной корреляции, полученная по наблюдениям за турбулентными пульсациями в двух точках четырехмерного пространства — времени, то частотно-волновая спектральная плотность мощности может быть получена из нее Фурье-преобразованием:

(1-39) Рис. 1-6.

Рисунок 1-6 иллюстрирует геометрическое представление двумерного частотно-волнового спектра турбулентных пульсаций. Когда однородность турбулентного поля имеет место не по всем трем направлениям ξ1,ξ2 и ξ3 , а только по двум из них или даже по одному, то соответственно сокращается число координат в волновом пространстве, от которых зависит частотно-волновой спектр.

Например, для стационарной турбулентности, однородной лишь в направлении ξ1=ξ , можно говорить только о двумерном частотно-волновом спектре: Двумерный частотно-волновой спектр схематически изображен на рис. 1-6 для случая, когда направление однородности совпадает с направлением средней скорости турбулентного течения. (1-40)

Мы пока рассматриваем спектры одной и той же случайной величины. Взаимные спектры, характеризующие совокупность различных случайных величин, рассматриваются ниже. Прежде всего из рис. 1-6 легко усматривается энергетический смысл частотно-волнового спектра . Выделенный в глубине выреза элементарный столбик имеет объем , численно равный среднему квадрату модуля амплитуд Фурье — Стильтьеса, т. е. их средней мощности:

Рис. 1-6. Кроме того, в силу симметрии функции корреляции относительно начала отсчета пространственного и временного интерва- лов (в стационарном и однородном поле),

имеет место симметрия частотно-волнового спектра относительно начала отсчета временных  и пространственных k частот: (1-41) Частотно-волновой спектр (как, впрочем, и всякий другой энергетический спектр) — функция вещественная и положительная. Первое из указанных свойств вытекает из (1-40) и (1-41) непосредственно,

а второе — из доказательства специальной теоремы Хинчина [в статье в УМН, 1933]. На рис. 1.6 хорошо также видно, что гармоники с фиксированной длиной волны k = const образуют сплошной спектр разночастотных составляющих. С другой стороны, в частотно-волновом спектре можно выделить сплошную совокупность гармоник с одинаковой временной частотой, но отличающихся друг от друга длиной волны.

Интересной особенностью рассматриваемо- го спектра является ярко выраженная концентрация энергии вдоль направления, составляющего с осью Ok некоторый угол α. Эта особенность характерна для турбулентных полей, конвектируемых со скоростью Uc = tg α мимо неподвижного наблюдателя. Турбулентные вихри переносятся средней скоростью потока. Если характерная скорость переноса - конвек ции (примерно равная скорости обтекания) много больше характерной скорости турбулентных пульсаций, то наблюдаемые временные изменения турбулентности будут

обусловлены главным образом переносом мимо наблюдателя пространственных неоднородностей и в значительно меньшей степени — собственными временными изменениями этих неоднородностей. Предельный идеализированный случай — перенос вихрей без существенного искажения - конвекция абсолютно не изменяемого во времени («замороженного») турбулентного поля - изобразился бы на рис. 1-6 дельта -функцией, концентрирующей всю энергию турбулентности вдоль линии  = UC k, где UC — скорость конвекции.

Именно такой считается турбулентность, когда ради упрощений используют известную гипотезу Тэйлора о «замороженных» полях. Реальная турбулентность отличается от упрощенной модели Тэйлора, однако ярко выраженные коллективные свойства поля обычно сохраняются, и частотно-волновой спектр несет на себе отчетливые следы частичной замороженности. О спектрах турбулентности необходимо сделать два замечания.

Спектры турбулентности Во-первых, отрицательные частоты и волновые числа, вполне уместные при теоретическом исследовании, никогда не используются при измерениях и очень редко применяются в инженерной практике. В последних случаях считают всю энергию распределенной по области только положительных частот и волновых чисел. Симметрия спектров относительно начала отсчета частот и волновых чисел позволяет при этом переходе попросту удваивать значение спектральной плотности.

Второе замечание касается способа представления частот. В теоретических исследованиях наиболее употребила круговая частота , при измерениях же используют практическую частоту f, указывающую на число колебаний в единицу времени. Соотношение между этими частотами  = 2πf общеизвестно. Из того, что суммирование энергии как по частотам , так и по частотам f во всем дозволенном (бесконечном или положи- тельном полубесконечном) интервале должно приводить к одному и тому же результату,

следует, что

Взаимосвязи корреляционных и спектральных функций Из сказанного в предыдущем разделе о спектральных функциях следует, что эти характеристики не несут о турбулентном поле информации, дополнительной к той, которая уже содержалась в исходных корреляционных функциях. При переходе от корреляционной функции к спектральной и наоборот (в соответствии со взаимными

преобразованиями Фурье) меняется только форма представления одной и той же по объему информации. Выбор той или иной характеристики как объекта экспериментального исследования диктуется в каждом отдельном случае конкретными целями исследования или возможностями имеющейся измерительной аппаратуры.

Наиболее часто при проведении экспериментальных исследований турбулентных пульсаций измеряются функция пространственно-временной корреляции R (ξ, t) и ее частные случаи — автокорреляция R (0, ), пространственная корреляция R (ξ,0), частотный спектр мощности P(ω) .

Что же касается частотно-волнового E(k, ) или волнового B(k) спектров, то настоящее время отсутствуют приборы, необходимые для регистрации волнового B(k) спектра в эксперименте. Так что эта характеристика турбулентности сейчас могут быть получена только путем вычислений интегралов Фурье от соответствующих корреляций. Недавно начаты прямые измерения частотно-волнового спектра E(k, ).

В последние годы все чаще измеряется еще одна характеристика турбулентности — взаимный спектр, занимающая некоторое промежуточное положение между спектрами и корреляциями. Математическое определение взаимного спектра с помощью пространственно-временной корреляции имеет вид (1-42) Взаимные спектры

Но Взаимный спектр можно выразить и через частотно-волновой спектр: Справедливы также обратные преобразования Фурье (1-43)

В самом общем случае взаимный спектр зависит от четырех параметров: трех проекций пространственного вектора, разделяющего точки наблюдения, и частоты наблюдаемых пульсаций. В этом смысле функцию взаимный спектр можно назвать четырехмерной. В частных же случаях равенства нулю некоторых из проекций ξ1,ξ2 и ξ3 число параметров, определяющих взаимный спектр, может быть меньше четырех.

В отличие от спектров мощности взаимный спектр – функция комплексная. Это следует из определений взаимного спектр по (1-42) и (1-43) и обусловлено тем, что функции - пространственно-временная корреляционная функция R (ξ, ) и - частотно-волновой спектр E (k,ω) несимметричны относительно  и k при ненулевых значениях ξ и ω.

Очевидно, что взаимные спектры не несут новой информации о турбулентности по сравнению с той, которую содержат пространственно-временные корреляции или частотно-волновые спектры. Однако измерение взаимных спектров часто оказывается предпочтительным по сравнению с измерением пространственно-временных корреляций, так как устраняется необходимость вводить в измерительный тракт довольно капризные блоки задержки времени.

Рис. 1-7. Измерение пространственно-временной корреляции (а) и взаимного спектра (б). П1,П2-датчики: преобразо- ватели турбулентных пульсаций; БЗ — блок задержки времени; К — коррелятор; Ф — частотный фильтр

На рис. 1-7 сравниваются структурные схемы аппаратуры, необходимой для измерений пространственно-временных корреляций и взаимных спектров. Схема рис. 1-7, б дает основание рассматривать взаимный спектр как пространственную корреляцию ( =0, ≠0), но не в общей, а в узкой полосе частот, на которую настроены фильтры. С другой стороны, возможность получения частотной зависимости путем перестройки фильтров при измерениях взаимных спектров роднит последние с обычными спектрами.

Нетрудно видеть из (1-42) и рис. 1-7, что в частном случае  = 0 взаимный спектр тождественно обращается в частотный спектр мощности P (0, ) = P (). Итак, с одной стороны — узкополосная пространственная корреляция, а с другой - своеобразный частотный спектр. Именно это имелось в виду, когда мы говорили о взаимных спектрах как характеристиках, занимающих промежуточное положение между корреляциями и спектрами.

Измерение взаимного спектра и использование этой функции в теоретических работах приобрели за последние годы широкое распространение во многих прикладных проблемах турбулентности (динамика атмосферы и океанов, статистические закономерности турбулентных пограничных слоев, генерация акустических волн турбулентностью и др.). Мы также будем часто обращаться к взаимному спектру как вследствие удобства его измерения, так и ввиду физической наглядности получаемых на этой основе результатов.

Например, в конвертируемых потоках модуль продольного нормированного взаимного спектра (здесь  re и  im — вещественная и мнимая части соответственно) может служить удобной мерой отклонения реальной турбулентности от идеализированной модели «замороженной»турбулентности Тэйлора. В самом деле, наблюдения за временными колебаниями с фиксированной (1-44)

частотой в для тэйлоровской турбулентности означали бы наблюдения за гармоническими составляющими с фиксированной длиной волны где UC — скорость их конвекции. Очевидно, что для выделенных гармоник пространственная корреляция, т. е. среднее значение их произведения в двух точках х и х+1, также является гармоничес- кой функцией с пространственным периодом , причем мнимая часть  im смещена относительно вещественной  re на расстояние в четверть пространственного периода.

Модуль такого безразмерного взаимного спектра тождественно равен единице. Рис. 1-8. Взаимный спектр для фиксированной частоты в функции расстояния ξ1 между точками наблюдения

На рис. 1-8 демонстрируется взаимный спектр для фиксированной частоты в функции расстояния 1 между точками наблюдения: а — идеализированная тэйлоровская турбулентность; б — реальная турбулентность. Показаны два возможных и употребляемых на практике способа изображения комплексной функции  (1,). Тейлоровская турбулентность, для которой ∣ (1,)∣ ≡ 1, характеризуется незатухающи ми гармониками  re= cos (2π 1/ ) и  im = cos [2π (1/+1/4)],

показанными в правой части рис. 1-8,а, или окружностью (левая часть рисунка), на которой располагаются значения комплексной функции  (1,) = exp (i 21/λ). При этом для фазы =21/ комплексной функции  (1, ) справедливо обычное соотношение В реальной турбулентности, где утрата корреляции по мере удаления друг от друга точек наблюдения неизбежна, осцилляции re и im с ростом фазы  <р затухают.

В реальной турбулентности значения про- дольного взаимного спектра - функции  ( 1, ) распределяются вдоль спиралеоб- разной кривой, стремящейся свернуться в точку при →∞. По скорости убывания модуля взаимного спектра ∣ (1,)∣, следовательно, можно судить о соотношении между процессами простой конвекции и процессами собственных изменений (иногда говорят — собственной жизни) в турбулентном потоке.

Между скоростью затухания модуля взаим- ного спектра и степенью размытости релье- фа частотно-волнового спектра E (k, ), показанного на рис. 1-6, существует прямая взаимосвязь: чем быстрее затухает ∣γ(ξ1,)∣, тем более расплывчат рельеф E (k, ), и наоборот. Задание составляющих — вещественной и мнимой части взаимного спектра γre и γim для тэйлоровской турбулентности однозначно определяет скорость ее конвекции UC из (1-45), если учесть, что

( (1-46) В реальном потоке, для которого, вообще говоря, нельзя определить скорость перено- са турбулентности как некоторой неизменяе- мой структурной субстанции, скорость (1-46) тем не менее несет большую смысловую нагрузку. Она, как будет показано, характе- ризует скорость переноса основной доли энергии рассматриваемого турбулентного поля и практически равна скорости

определяемой как отношение временных частот к волновым числам в окрестности главного «хребта» (см. рис. 1-6) частотно-волнового спектра E (k, ). Преобразования Фурье позволяют ввести в рассмотрение еще одну характеристику, также занимающую промежуточное положение между корреляциями и спектрами и вместе с тем отличную от P (ξ, ). Для этого нужно совершить преобразования типа (1-42) и (1-43), но не по  и k, а по ξ и , соответственно:

Нетрудно показать, что функции В (k, ) и P (ξ, ) связаны между собой четырехмерным преобразованием Фурье: (1-47) (1-47)

Четырехмерную (в общем случае) комплексную характеристику В (k,  ) тоже можно назвать взаимным спектром, и, чтобы не путать ее с Р (ξ, ) , следует сделать необходимые терминологические уточнения. Условимся называть функцию Р (ξ, ) взаимным по пространству частотным спектром, а В (k, ) — взаимным по времени волновым спектром. Этими полными наименованиями мы в дальнейшем будем называть функции Р (ξ, ) и В (k, ) всюду, где только может возникнуть опасность спутать их друг с другом.

Однако, поскольку в настоящее время нет возможности измерять в эксперименте спектр В (k, ), и эта характеристика встречается лишь в теоретических работах. Поэтому в данном курсе лекций в основном будет использоваться взаимный по пространству спектр Р (ξ, ), и мы для краткости будем чаще всего называть взаимным спектром именно Р (ξ, ), не делая дополнительных уточнений, если это не вызвано указанной выше необходимостью.

По-видимому, у слушателя, впервые знакомящегося с характеристиками, которые используются при изучении турбулентности, возникает естественное беспокойство как по поводу их многообразия, так и по поводу многогранности их взаимных связей. В такой ситуации вполне оправданным является стремление к построению некоторой исчерпывающе полной, но вместе с тем простой и наглядной схемы взаимосвязей. На рис. 1-9 мы представляем такую схему. Схема взаимосвязей.

Рис. 1-9. Взаимосвязи между спектральны- ми и корреляционными функциями в стационарном и однородном поле

При этом, как и прежде, физический харак- тер пульсаций (скорость, давление, темпера- тура и т. д.), для которых составлены характе ристики, не конкретизируется. Единственное требование, предъявляемое схемой к турбулентным полям, состоит в том, чтобы они были стационарными и однородными. Предлагаемая схема позволяет эксперимен- татору без больших затруднений обосновать выбор для измерений той характеристики турбулентного поля, которая лучше всего отвечает целям задуманного исследования или может быть изучена в данных условиях наиболее полно и достоверно.

При теоретическом анализе результатов измерений, а также при оценке других сто- рон явления, которые непосредственно не изучались в опытах, предлагаемая схема позволяет наиболее просто переходить от одной формы представ ления информации о турбулентном поле к другой. Взаимные преобразования Фурье этих и других характеристик, показанных на схеме, обозначены на ней сдвоенными встречными стрелками. На второй от центра «орбите» расположены менее информативные

характеристики, чем те четыре, о которых только что шла речь. Это автокорреляция R (0, ) и пространственная корреляция R (ξ, 0); частотный спектр мощности Р (0,) и взаимный по пространству спектр на нулевой частоте Р (ξ, 0); частотно-волновые спектры на нулевой частоте Е (k, 0) и при нулевом волновом числе Е (0, ); взаимный по времени волновой спектр при нулевом сдвиге времени (или короче — волновой спектр) В (k, 0) и взаимный по времени волновой спектр при нулевом волновом числе В (0, ).

Нетрудно заметить, что все перечисленные восемь характеристик попарно получаются из четырех характеристик центральной орбиты в частных случаях нулевых значений одного из параметров: ξ, k,  или . Сужением до нуля диапазона изменения одного из перечисленных параметров и обусловлено понижение информативности при переходе с первой орбиты на вторую. Эта операция приравнивания нулю одного из параметров обозначена на схеме стрелкой, указывающей также направление возможного необратимого перехода.

Впрочем, есть и другой путь получения рассматриваемых восьми функций из четырех центральных: интегрирование последних. Например, (1-48)

(1-50) Необратимая операция интегрирования многомерной функции по одному или нескольким ее параметрам тоже, разумеется, сопровождается невосполнимой утратой информации, и это полностью согласуется с тем, что наблюдалось при первом пути получения рассматриваемых восьми функций.

Между собой рассматриваемые восемь функций попарно связаны взаимно-обратимыми Фурье-преобразованиями. Приведем типичный пример: Это выражение может служить аналогом для записи всех других Фурье-преобразований второй орбиты, обозначенных на схеме Рис. 1-9, как и прежде, парными встречными стрелками.

Наконец, минимальный возможный объем статистической информации о турбулентном поле содержат четыре характеристики турбулентных пульсаций, расположенные на третьей, внешней орбите схемы. Итак: - дисперсия σ2= R (0, 0), частотный спектр Р (0, 0) на нулевой частоте, частотно-волновой спектр Е (0, 0) при нулевых частоте и волновом числе и - взаимный по времени волновой спектр В (0, 0) при нулевых сдвиге времени и волновом числе.

Как видно из обозначений и названий, все эти характеристики могут быть получены непосредственно из четырех центральных путем простого устремления к нулю обоих параметров этих функций, например: На схеме эта операция обозначена парой однонаправленных стрелок. Как и в предыду щем случае, здесь также имеется возмож- ность получить рассматриваемые

простейшие характеристики путем интегрирования более сложных и более информативных функций: Операции интегрирования, аналогичные тем, которые записаны во второй строке равенств (1-51), обозначены на схеме Рис. 1-9 штриховыми дугами. (1-51)

Интегрирование, аналогичное записанному в первой строке (1-51) или в формулах (1-48) — (1-50), не обозначено на схеме во избежание ее перегрузки. Впрочем, в таких обозначениях нет особой нужды, так как нетрудно подметить простые алгоритмы: А ⇄ В → С эквивалентно А — — → С; А ⇄ В⇉ С эквивалентно А ==⇉ С.

Иначе говоря, если от функции А можно перейти к функции В с помощью (обратимого) Фурье-преобразования (⇄), а затем от функции В к функции С с помощью приравнивания нулю одного (→) или двух (⇉) параметров, это равносильно переходу от А непосредственно к С с помощью интегрирования по этому одному (— — → ) или по этим двум (==⇉) параметрам. Единственное условие выполнения указанного алгоритма состоит в том, чтобы функции А, В и С располагались на схеме по одной прямой линии.

Размерности и масштабы. Среди характеристик, показанных на схеме рис. 1-9, есть такие, которые зависят от одинаковых параметров, например Р (ξ, 0) и R (ξ, 0), В (k, 0) и Е (k, 0). Вследствие этого их часто путают друг с другом, тем более что у некоторых из них к тому же сходные названия. Типичным примером этого являются спектры Р (0, ) и Е (0, ) или В (k, 0) и Е (k, 0). Следует совершенно отчетливо себе представлять, что это функции, различные по своему физическому содержанию.

Частотный спектр Р (0, ) характеризует мощность, которая содержится в гармониках всех пространственных масштабов -∞

гармониках всех временных частот, имеющих волновые числа в малой окрестности k, а частотно-волновой спектр Е (k, 0)— о мощности только части этих гармоник с частотой около  = 0. Поскольку речь идет о спектральных плотностях, то размерностью мощности обладают произведения Р (0, ) d, В (k, 0) dk1dk2dk3, Е (k, 0) dk1dk2dk3d . Поэтому сами спектры

Р (0, ), В (k, 0) и Е (k, 0) или Е (0, ) имеют разную размерность, и это является верным признаком, отличающим их друг от друга. По существу, все статистические характеристики, используемые при исследованиях турбулентности и показанные на схеме рис. 1-9, можно разделить по их размерностям на четыре группы.

Характеристики группы R (пространственно-временная корреляция и все ее частные случаи при ξ= 0,  = 0) имеют размерность дисперсии σ2 исследуемых турбулентных пульсаций: [u2], [ϴ2], [p2] и т. д., где u, ϴ, p — например, скорость, температура, давление. Характеристики группы Р (взаимный по пространству частотный спектр и его частные случаи) имеют размерность [σ2/ ], где  - частота.

У характеристик группы В размерность [σ2/km], где k волновое число, а показатель степени т может принимать значения от 1 до 3 в зависимости от числа взаимно ортогональных направлений однородности турбулентного поля, по которым производилось спектральное разложение на пространственные гармоники. Наконец, группа характеристик Е (частотно-волновые спектры и их частные случаи при k = 0,  = 0) обладают размерностью [σ2/ km].

Четыре характеристики: R (0, 0), Р (0, 0), Е (0, 0) и В (0, 0), расположенные на внешней орбите схемы, представляют собой не функции, а постоянные величины (для данного турбулентного поля), и из них удобно составлять характерные масштабы. Нетрудно видеть, что, например, отношение Р (0, 0)/ R (0, 0) характеризует некоторый масштаб времени независимо от физичес- кой природы исследуемого турбулентного поля. В самом деле, размерность этого отношения [(σ2/):σ2] = [—1] не зависит от размерности дисперсии исследуемых пульсаций.

Попарная комбинация четырех упомянутых выше постоянных величин дает возможность составить два различных масштаба времени и два различных масштаба длины: (1-52) (1-53)

Рис. 1-10. Образование характерных масштабов турбулентного поля Схема образования этих масштабов показана на рис. 1-10.

Масштабы (1-52) нам уже встречались: это (с точностью постоянного множителя) интегральные масштабы (1-18) и (1-19). В самом деле, Аналогичным образом можно показать, что L1= 2L0.

Масштабы L1=2L0 и T1 = 2Т0 можно назвать широкополосными в том смысле, что они относятся ко всей совокупности разномасштабных и разночастотных гармоник, на которые разлагается турбулентное поле при спектральном анализе. Эти масштабы часто используются при изучении турбулентности в качестве условной меры интервалов времени или пространства, в пределах которых турбулентные пульсации существенно коррелированы.

Упрощая ситуацию, можно при выполнении приближенных оценок считать, что в пределах L0 и Т0 корреляция полная, а вне этих пределов она отсутствует. Масштабы Т2 и L2 в отличие от Т1 и L1 можно назвать узкополосными в том смысле, что они относятся только к некоторой совокупности гармоник, лежащих в узкой полосе частот или волновых чисел. Действительно,

где e (k, ) — частотно-волновой спектр, нормированный величиной Е (0, 0), dA (k) — элемент m-мерного волнового пространства (m= 1, 2, 3). На рис. 1-11 показаны два сечения, при k = 0 и  = 0, нормированного частотно-волнового спектра e (k, ). Для простоты взят случай одномерного (т=1) волнового пространства. Там же показаны прямоугoльники, равные по своим площадям указанным сечениям.

Рис. 1-11. Энергетическая интерпретация узкополосных масштабов времени и длины турбулентного поля Частотно-волновой спектр, нормированный величиной Е (0, 0)

Упрощая ситуацию аналогично тому, как это делалось при интерпретации интегральных масштабов L0 и Т0 можно для грубых оценок принять, что энергия самых длинноволновых и самых низкочастотных гармоник распреде- лена равномерно в интервалах, ограничен- ных значениями и , соответственно, а вне этих интервалов равна нулю. Можно также считать, что масштаб характеризует некоторый средний период колебаний самих длинноволновых гармонических составляющих 'турбулентного поля,

а масштаб характеризует среднюю длину волны самых низкочастотных гармоник этого поля. Узкополосные масштабы L2 и Т2 удобны для исследования сжимаемости среды, совершающей турбулентные движения. Фокс-Вильямс в 1965 г.показал, что интегральные масштабы L1 и Т1 практически безразличны к изменению числа Маха (отношение скорости потока к скорости звука в среде), которое управляет эффектами сжимаемости, в то время как узкополосные масштабы L2 и Т2 весьма чувствительны к этим изменениям.

1-6. Об уравнениях турбулентности Массовое производство современных измерительных средств, позволяющих регистрировать самые различные статистические характеристики турбулентных потоков, сделало для широкого круга исследователей турбулентности - экспериментаторов легкодоступными такие измерения, которые 20 — 25 лет назад были под силу только очень немногим, наиболее оснащенным лабораториям. У этого процесса есть, однако, и теневая сторона, существо которой сводится к тому, что

среди части экспериментаторов распростра- нился взгляд на уравнения движения как на нечто практически совершенно бесполезное при изучении турбулентности. Эта точка зрения, совершенно неприемлемая прежде для исследователей, не располагавших современными возможностями эксперимен- та, сегодня иногда аргументируется ссылкой на принципиальную неразрешимость уравне ний турбулентного движения. В действительности же уравнения движения (или их упрощенные модификации) зачастую позволяют избежать соблазна измерять просто то, что измеряется.

Они помогают сформулировать физически обоснованные представления о том, что именно должно быть измерено и как должно быть обработано измеренное, для того чтобы на этой основе сделать достаточно общие выводы о свойствах турбулентных течений. Ниже мы приведем (без вывода) простейшие формы уравнений турбулентного движения. В случае необходимости расширить объем сведений из этой области рекомендуется обратиться к монографиям Бэтчелора, Таунсенда, Хинце или Монина и Яглома.

Уравнения Навье — Стокса и Рейнольдса. Уравнения движения вязкой жидкости, известные как уравнения Навье — Стокса, представляют собой специальный вариант записи второго закона Ньютона. Этот вариант приспособлен для описания движений сплошной материальной среды, внутренние напряжения которой пропорциональны скорости деформации элементов ее объема.

Вместе с уравнением сплошности течения уравнения Навье-Стокса образуют систему, замкнутую в том смысле, что она достаточна для определения скоростей и напряжений в любой точке потока в любой момент време- ни. Именно таким образом иногда удается использовать указанные уравнения для изучения некоторых ламинарных течений. При изучении турбулентных течений мгно- венные значения случайных флуктуаций не представляют интереса, а для описания среднестатистических величин уравнения Навье — Стокса должны быть изменены.

Простейшую модификацию такого рода представляют собой уравнения Рейнольдса: (1-54) Они описывают эволюцию во времени t и распределение в пространстве хi (i= 1, 2, 3) средней скорости и среднего гидродинамического давления

в жидкости, имеющей плотность ρ и кинематическую вязкость ν.

Тензор <иiиj> представляет собой корреляци- онный тензор второго ранга для турбулент- ных пульсаций скорости. Его компонентам пропорциональны рейнольдсовы напряже- ния, возникающие в турбулентном потоке. При записи уравнений (1-54) использовано известное правило суммирования по повторяющимся индексам. Проблема замыкания. Четыре функции (проекции средней скорости по координатам) , , , и среднего давления

могли бы быть определены из трех (i =1, 2, 3) уравнений Рейнольдса (1-54) и уравнения

несжимаемости d/dxi=0, если бы не «лишние» шесть одноточечных моментов <иiиj> (шесть, а не девять, потому что <иiиj> = <иjиi>). Так возникает проблема замыкания статистических уравнений турбулентности. Существо этой проблемы сводится к тому, что для обеспечения возможности решения статистических уравнений необходимы дополнительные (замыкающие) связи между искомыми функциями. Проблема замыкания

Проблема замыкания сохраняется (даже усугубляется) и для более сложных форм статистических уравнений, чем уравнения Рейнольдса. Так, если составить дополни- тельные уравнения для тензора <иiиj>, то в них войдут одноточечные моменты третьего порядка <иiиjuk>. Следовательно, и новая, более полная, система уравнений по-преж нему остается незамкнутой. Заметим, кстати, что незамкнутость статистических уравнений есть прямое следствие их нели- нейности, а с точки зрения механики – Проблема замыкания

результат преобладания в потоке сил инерции над вязкими силами. В теоретических работах делается множество попыток замкнуть статистические уравнения с помощью тех или иных гипотетических связей. С помощью хорошо поставленных опытов можно либо проверить правомерность теоретических предположений, либо непосредственно получить недостающие связи. Приведем пример на рис. 1-12. Здесь показаны результаты измерений ненулевого корреляционного момента , который

входит в правую часть уравнений Рейнольдса (1-54) и является причиной их незамкнутости. Результаты представлены в безразмерном виде, что делает их удобными для обобщающих выводов. Рис.1-12. Распределение корреляционного момента, пропорционального рейнольдсо- вым напряжениям, по сечению плоского канала

Спектральная форма уравнений. До сих пор мы говорили о статистических уравнениях турбулентности, содержащих те или иные моменты распределения случайных турбулентных полей. Для стационарных или однородных (полностью или частично) течений можно перейти от моментной формы записи уравнений к спектральной. Для экспериментатора такой переход может быть обусловлен желанием применить не корреляционные, а спектральные методы измерений. В качестве побудительных мотивов для Спектральная форма уравнений

выполнения спектральных измерений чаще всего служит большая физическая наглядность энергетических трактовок наблюдаемого явления, а также относительная простота спектральных измерительных трактов. Спектральная форма представления уравнений движения ниже показана для случая изотропной турбулентности. Изотропная турбулентность является простейшим типом Турбулентного течения.

Статистические характеристики изотропной турбулентности не меняются не только при перемещении конфигурации совокупности точек наблюдения как единого целого вдоль любого направления (однородность), но также и при отражении этой конфигурации в любой плоскости. Следовательно, изотропная турбулентность всегда однородна, однако обратное утверждение силы не имеет. Изотропную турбулентность удается воспроизвести в аэротрубах за решетками,

однако в природе и технике мы обычно имеем дело с течениями неизотропными. Вместе с тем обнаружено, что мелкомас- штабная турбулентность различных течений зачастую удовлетворительно описывается с помощью соотношений для изотропной турбулентности. Это объясняется тем, что при больших числах Рейнольдса мелкомасштабная турбулентность почти не испытывает влияния неизотропных или неоднородных пространственных условий, формирующих структуру макромасштабов потока, размеры которых соизмеримы с размерами всего течения.

Многокаскадная «эстафета» энергии в процессе нелинейных взаимодействий от крупных вихрей ко все более и более мелким сопровождается на каждом каскаде накоплением хаоса, стирающего признаки преимущественных направлений. В результате наблюдается вполне выраженное стремление мелкомасштабной турбулентности к локальной изотропии. Это обстоятельство делает изучение изотропной турбулентности не лишенным практического смысла. В изотропной турбулентности не происходит генерации пульсационной энергии.

Поэтому под действием вязкой диссипации изотропная турбулентность неизбежно затухает и, следовательно, не может быть стационарной. По этой причине спектральное разложение возможно только в пространстве, но не во времени. Опуская промежуточные выкладки, которые можно найти, например, в книге Бэтчелора, запишем в окончательном виде спектральное уравнение для изотропной турбулентности:

Спектральная форма уравнений (1-55) Здесь В (k) — волновой спектр энергии турбулентных пульсаций (см. рис. 1-9), а k — модуль волнового вектора, связанный с длинами λ пространственных волн спектра- льных составляющих соотношением λ = 2π/k. T(k) - спектральная функция переноса.

Рассеяние турбулентной энергии в тепло происходит со скоростью, равной последнему члену в правой части (1-55). Однако изменения во времени энергетического спектра В (k) происходят не только под действием вязкой диссипации, но также в результате каскадного переноса энергии от длинноволновых (крупномасштабных) компонент турбулентности к коротковолновым (мелкомасштабным). Этот процесс характеризуется спектральной функцией переноса Т (k).

Таким образом, единственное спектральное уравнение (1-55) содержит две неизвестные функции В (k) и Т (k) и поэтому также является незамкнутым. Измерениям подвергался чаще всего волновой спектр В (k), но не непосредственно, а с помощью приема, основанного на использовании гипотезы Тэйлора о «замороженной» турбулентности. При наличии достаточно полной экспериментальной информации о спектре В (k) функция переноса Т (k) может быть найдена из уравнения (1-55).

Моделирование статистических характеристик турбулентности Мы познакомились главным образом с тем, какие статистические характеристики турбулентного течения могут представлять интерес при его экспериментальных исследованиях. В этом разделе речь пойдет в основном о том, к а к выполняются такого рода исследования. Не всегда бывает возможным изучать турбулентность в натурных условиях, т. е. именно в тех условиях, для которых искомые опытные закономерности представляют

практический интерес. Даже геофизики, которые атмосферу и океаны нашей планеты обычно считают наилучшими и постоянно действующими «лабораториями», часто прибегают к модельному эксперименту. В других научных пли прикладных исследованиях изучение турбулентных течений на лабораторных моделях оказывается либо более выгодной, либо вообще единственно возможной формой эксперимента. Опыты на моделях получили широкое распространение при прогнозировании характеристик турбулентных течений около плотин,

в проточных частях паровых, газовых и гидравлических турбин, насосов и вентиляторов, а также вблизи фюзеляжей самолетов и корпусов морских и речных судов. Однако результаты измерений в лабораторных (модельных) условиях могут быть пригодны для научных обобщений и практических рекомендаций только тогда, когда при выполнении опытов соблюдаются определенные законы моделирования. Нарушение этих законов делает совершенно бессмысленным стремление к увеличению точности или объема измерений.

В экспериментах с турбулентными течениями на моделях преследуются, как правило, следующие взаимосвязанные цели: опытное изучение основных физических закономерностей явления и составление прогнозов относительно статистических характеристик турбулентности для натурных условий. При постановке экспериментов, обработке опытных данных и пересчете результатов опыта с модели на натуру естественно возникает вопрос о принципах моделирования случайных турбулентных полей.

Прежде всего в каждом конкретном случае необходимо выяснить, возможно ли полное моделирование данного турбулентного поля в целом, и если да, то при каких условиях. Если же окажется, что по каким-либо причинам полное моделирование невозможно, то встает еще один вопрос: каких масштабных эффектов, неизбежно возникающих при неполном (частичном) моделировании, следует ожидать при измерениях. На эти вопросы можно попытаться ответить с помощью теории размерностей величин и соображений о подобии явлений.

При таком подходе, который оправдывается сложностью изучаемого явления, использу- ются, по существу, свойства инвариантности физических закономерностей относительно масштабов, выбранных для описания явления. Применение метода размерностей и подобия проиллюстрируем на примере задачи моделирования стационарных статистических характеристик случайных кинематических, динамических и темпера- турных полей развитого турбулентного течения. Это довольно общий случай,

охватывающий широкий класс явлений, с которыми приходится сталкиваться на практике. Для других ситуаций он может быть использован в качестве аналога. Качественную характеристику рассматриваемого явления можно представить себе следующим образом. Некоторое тело (или совокупность тел) обтекается турбулентным потоком вязкой сжимаемой жидкости, которая передает телу посредством трения и давления определенное количество движения.

Температура жидкости не совпадает с температурой тела, между ними возникает теплообмен, вследствие чего отдельные жидкие частицы после температурного расширения или сжатия начинают подверга- ться в гравитационном поле действию архимедовых сил. Кроме того, эти частицы более или менее интенсивно сносятся вниз по течению, а также рассеиваются под действием турбулентной диффузии. Сжимаемость среды может проявиться, в частности, в том, что температура .

отдельных ее элементов окажется зависимой от работы сжатия или расширения, производимой потоком в поле неоднородных гидродинамических давлений вблизи тела. Описанное явление с теми или иными вариациями является типичным, например, для турбулентности при обтекании рабочего колеса газовой турбины. Как мы увидим в параграфе 2-3, это явление имеет также самое прямое отношение к условиям работы термоанемометра — прибора, предназначенного для изучения самой турбулентности.

Первым и самым ответственным шагом на пути применения метода подобия является выбор параметров, определяющих рассматриваемое явление. Для того чтобы назвать параметры, от которых главным образом зависит явление, необходимо привлечение всех известных сведений о нем и глубокий анализ этих сведений, чтобы отсеять все второстепенные факторы, с одной стороны, и не упустить ни одного из главных факторов — с другой. Второе, разумеется, важнее первого. Иначе говоря, выбор определяющих параметров сводится к

правильной схематизации явления, и эта процедура требует от исследователя определенных навыков и знаний. Напри- мер, мы можем считать среднюю длину свободного пробега молекул газа пара- метром, несущественным для турбулент- ного движения, если газ не слишком разрежен и наименьший из турбулентных вихрей в нем много больше средней длины свободного пробега. Однако чтобы иметь основания вычеркнуть длину свободного пробега молекул из списка определяющих явление

параметров, нужно предварительно оценить эту величину и размер наименьших турбулентных вихрей, а затем сделать соответствующее сопоставление. Известно, что для типичных из наименьших вихрей число Рейнольдса имеет порядок единицы, (η — масштаб рассматривае мых вихрей, v — их характерная скорость, ν — коэффициент кинематической вязкости). Известно также, что длину свободного пробега молекул в газе можно оценить по формуле где а - скорость звука. Поскольку

то для искомого отношения имеем ,где - число Маха для турбулентных пульсаций. Так как обычно величина примерно на порядок меньше средней скорости потока, то даже для околозвуковых скоростей величина η по крайней мере на два порядка больше чем l - длина свободного пробега молекул, в силу чего длина свободного пробега может быть обоснованно исключена из числа определяющих явление параметров.

Подобного рода оценки обычно сопутствуют составлению списка определяющих параметров. В нашем случае исследуемые турбулентные поля пульсаций скорости, давления и температуры должны быть статистически вполне определенными для тела заданной формы, расположенного заданным образом по отношению к натекающему потоку, если зафиксированы следующие параметры, которые являются в данной задаче определяющими:

1. Пространственно-временные. L — некоторый характерный размер тела (диаметр рабочего колеса турбины, длина фюзеляжа самолета, диаметр чувствитель ной нити термоанемометра и т. п.); х (х1, х2, х3) — трехмерный вектор, характеризую- щий координаты точки турбулентного потока, в окрестности которой исследуют- ся статистические характеристики случайных полей; ξ(ξ1, ξ2, …, ξn) — n-мерный вектор, характеризующий конфигурацию точек наблюдения, в которых исследуются n-точечные моменты

распределения вероятностей; - совокупность временных интервалов между т моментами наблюдения. 2. Кинематические: — поступательная скорость перемещения тела в жидкости (или скорость натекания потока на тело);  — круговая частота колебаний спектральных составляющих турбулентных полей.