Основные понятия теории вероятностей Вычисление вероятностей Теория

Основные понятия теории вероятностей Вычисление вероятностей

Теория вероятностей Раздел математики, изучающий случайные события

Вероятность Числовая характеристика степени появления какого- либо события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. (Математическая энцикопедия) P R O B A B I L I T E

Классическое определение вероятности n Вероятностью события A называется число P(A), равное отношению количества благоприятствующих событию A элементарных исходов m к общему количеству элементарных равновозможных исходов n:

n n Вероятность любого события может принимать значения только от 0 до 1: Вероятность можно задать в процентах: P(A)= 0, 8 или P(A)= 0, 8*100% = 80 %.

Статистическое определение вероятности Вероятность события А – это число, около которого колеблются устойчивые значения относительных частот W при многократном повторении испытаний: где n – количество испытаний, m – количество появлений события A.

Геометрическое определение вероятности Вероятность события А можно вычислить как отношение длин, площадей, объёмов, в зависимости от того, где лежат точки, моделирующие исходы эксперимента:

Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А или В) = Р(А)+ Р(В)

Следствие Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

А – “выпадение орла” равновозможны В – “выпадение решки” несовместны противоположны единственно возможны С – “выпадение орла или решки” P(A) = P(C) = 1 P(B) = достоверное События А и В образуют группу событий

Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(А и В) = Р(А) * Р(В)

Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго (при условии, что первое уже произошло). Р(А и В) = Р(А) * РА(В)

Формула полной вероятности Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

формула Байеса

Независимые пoвторные испытания Примеры повторных испытаний: 1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну; 2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Формула Бернулли Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Наивероятнейшее число успехов Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет установить, какое число k появлений события А наиболее вероятно.

Локальная формула Лапласа