Основные операторы квантовой механики ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные операторы квантовой механики

ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функция координаты Проекция импульса

Вектор импульса и оператор вектора импульса

Оператор функции вектора импульса ОПЕРАТОР КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ оператор Лапласа (лапласиан):

Пример действия оператора Лапласа на функцию

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ n (1) одно из важнейших уравнений квантовой механики: (1) - уравнение на собственные значения и собственные функции оператора. Числа , при которых существуют решения уравнения (1) – -собственные значения оператора ; Функции , являющиеся решениями уравнения (1), собственные функции оператора.

Чем важно уравнение Это уравнение позволяет искать состояния которых среднее значение величины равно точному значению. , в

РАССМОТРИМ ПРИМЕР Пусть, например, Тогда

СПЕКТР ОПЕРАТОРА Совокупность собственных значений оператора называют спектром оператора. Сплошным или непрерывным спектром, если собственные значения изменяются непрерывно; Дискретным спектром, если собственные значения оператора можно перенумеровать. Целые числа 1, 2, …, n, …, нумерующие собственные значения и собственные функции называют квантовыми числами

ПОСТУЛАТ ОБ ИЗМЕРЕНИИ Сформулируем постулат об измерениях в виде двух утверждений, которые отвечают на каждый из двух вопросов: 1. Что мы будем получать при измерении физической величины F, если система будет находиться в состоянии , совпадающем с одним из собственных состояний оператора ? 2. Что мы будем получать при измерении физической величины F, если система будет находиться в произвольном состоянии , не совпадающем ни с одним из собственных состояний оператора ?

ПОСТУЛАТ ОБ ИЗМЕРЕНИИ 1 Если система находится в состоянии , являющемся собственной функцией оператора , то измеряемая физическая величина F имеет определённое значение, равное собственному значению оператора в этом состоянии.

ПОСТУЛАТ ОБ ИЗМЕРЕНИИ 2 Если система находится в состоянии , не совпадающем ни с одной из собственных функций оператора , то при измерении величины F в этом состоянии мы будем получать разные значения, но каждый раз равные одному из собственных значений оператора. СПЕКТР ОПЕРАТОРА определяет возможные результаты измерений

ВЫРОЖДЕНИЕ Встречаются случаи, когда одному собственному значению F соответствует несколько состояний Такие состояния называются вырожденными. Число k вырожденных состояний называют кратностью вырождения. Например, в атоме водорода Н, состояние электрона с энергией Е 2=(-13, 6 e. В/22) четырёхкратно вырождено

Свойства собственных функций эрмитовых операторов n Нормированность: n Ортогональность:

Свойства собственных функций эрмитовых операторов n Полнота: n Условие полноты: n Выясним смысл коэффициентов разложения сn.

Смысл коэффициентов Сn n n В классической теории вероятности: В квантовой теории:

Смысл коэффициентов Сn Итак: Квадрат модуля коэффициента разложения функции по собственным функциям оператора даёт вероятность, с которой при измерении величины F будет найдена величина Fn. Пример:

Смысл коэффициентов Сn n Скажем иначе: Вероятность того, что измеряемая величина F примет одно из её возможных значений Fn , равна квадрату модуля коэффициента разложения по собственным функциям оператора при соответствующей собственной функции.