Определители второго и третьего порядка Определитель (или

Определители второго и третьего порядка

Определитель (или детерминант) – это число, связанное с квадратной матрицей А, обозначение: или det A. Если матрица записана в прямых чертах, то это обозначает определитель матрицы.

Определитель 2 -го порядка: det A= Определитель 3 -го порядка: , det A=11 12 21 22 а а А а а 11 22 12 21 а а 11 12 13 21 22 23 31 32 33 а а а а а 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 а а а а а

Способы вычисления определителя третьего порядка

Свойства определителей. • При перемене местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. • При умножении всех элементов любой строки (столбца) на некоторое число, определитель умножается на это число.

• Если любую строку (столбец) определителя разбить в сумму двух строк (столбцов), то определитель можно представить как сумму соответствующих определителей: 1 2 1 1 2 2 a b a b c c d d c d

• Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю. • Определитель, содержащий строку (строчку) из нулей, равен нулю. • К любой строке определителя можно прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Определитель при этом не меняется. • Транспонирование не меняет определителя: det( ) det T

Опр: Минор М ij элемента а ij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки под номером i и столбца под номером j, т. е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а ij. Минор М ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Опр. Алгебраическое дополнение А ij — это минор М ij , умноженный на (-1) i+j , А ij = (-1) i+j M ij Алгебраическое дополнение А ij элемента а ij либо совпадает с его минором (если i+j – четное число), либо противоположно ему (если i+j – нечетное число).

• Теорема Лапласа: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов. = а 11 ·А 11 +а 12 ·А 12 +а 13 ·А 13 ; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки. 333231 232221 131211 ааа ааа

Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка А Опр. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной. Опр. Обратной матрицей для матрицы А называется такая матрица А — 1 , произведение которой слева и справа на матрицу А дает единичную матрицу того же порядка. А -1 А = АА -1 = Е

Теорема: Для каждой невырожденной матрицы существует обратная и она находится по формуле: А -1 = A * = A ij — алгебраические дополнения элементов матрицы А. По отношению к исходной матрицы они транспонированы.