Опорные задачи по геометрии 11 класс, 2012

Скачать презентацию Опорные задачи по геометрии  11 класс, 2012 Скачать презентацию Опорные задачи по геометрии 11 класс, 2012

опорные задачи по геометрии.ppt

  • Количество слайдов: 19

>Опорные задачи по геометрии  11 класс, 2012 год Опорные задачи по геометрии 11 класс, 2012 год

>  Площадь ортогональной проекции многоугольника на  плоскость равна произведению его площади на Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции Дано: ΔАВС, α-плоскость, ΔАВС 1 -проекция ΔАВС на плоскость Доказать: Ѕ=Ѕ0/cosφ Доказательство: 1) Проведем высоту CD в ΔАВС 1) Дополнительное построение 2) 2) Проведем C 1 D 3) Если прямая на плоскости перпендикулярна 3) C 1 D – высота ΔАВС 1 наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной 4) Угол CDC 1 = φ - угол между 4) Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, плоскостью ΔАВС и α проведенными в каждой из этих плоскостей к одной прямой 5) Тогда C 1 D = CD cosφ 5) cosφ = ПРИК/Г 6) SABC = ½ AB∙CD, SABC 1 = ½ AB∙C 1 D 6) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов 7) SABC 1 = SABC cosφ 7) Следует из п. 6

>       С  Катет  прямоугольного  С Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Высота, опущенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на В гипотенузу. Доказательство: Д А А) : = = Б) : = = В) = =

> Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит  каждую медиану в отношении Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. С В 1 Дано: АВС А О А 1 АА 1 , ВВ 1, СС 1 – медианы Доказать: ВО : ОВ 1 = 2 : 1 С 1 Доказательство: В 1)Проведем среднюю линию В 1 А 1 этого 1) Доп. Построение треугольника. 2)Средняя линия треугольника, 2) А 1 В 1 АВ соединяющая середины двух 3)АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, данных сторон, паралельна и, значит их стороны пропорциональны третьей стороне и равна её 4) АО = 2 А 1 О, ВО = 2 В 1 О т. к АВ = 2 А 1 В половине. 5) Точка О пересечения медиан ВВ 1 и 3)Следует из подобия треугольников СС 1 делит каждую из них в отношении 2 4)Сл. из п. 3 : 1 , считая от вершины. 5) Сл. из п. 4

>С    А      Отрезки   касательных, С А Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. О В Решение 1. Рассмотрим СВО и САО. 1. а) СО-общая а)гипотенуза. б) ВО=ОА=R СВО= САО б)катетами является радиус. Два треугольника равны по двум катетам и гипотенузе. 2 . СВО= САО СА=CВ 2. Следует из п. 1.

>    Вписанный угол, опирающийся на   В диаметр, прямой. Вписанный угол, опирающийся на В диаметр, прямой. Дано: 1. окружность с центром в точке О; С 2. / АВС – вписанный. А О Доказать: угол АВС = 90˚ Доказательство: 1. Диаметр делит окружность 1. Окружность на две дуги по 180˚. состоит из 360˚. 2. / АВС = 90. ˚ 2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

>   Сумма противоположных углов вписанного     четырехугольника равна 180˚. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180˚. О Дано: АВСD – четырехугольник, вписанный в окружность с центром О. В D Доказать: А +С =180˚. А Доказательство: 1)АВСD - выпуклый 1)Вершины А и С лежат по разные стороны прямой ВD 2)/ BAD = 0, 5 / BOD 2)По свойству вписанных углов, где / BOD – соответствующий центральный угол 3) / BСD = 0, 5/ BOD 3) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается 4) / BAD + / BСD = 0, 5 * 360˚ 4)Следует из п. 2, 3; сумма дополнительных центральных углов равна 360˚ 5) Следовательно /А+ /С = 180˚ 5) --- 6)Аналогично рассматриваются 6) Сумма всех углов четырехугольника равна 360˚ /В и /D

>    Угол между касательной и секущей,   M  Угол между касательной и секущей, M A N проходящих через одну точку окружности, равен половине отсекаемой дуги. Дано: O a)MN – касательная b)АВ - хорда B Доказать: / NAB = 0, 5 АВ C Доказательство: 1)Проведем диаметр АС 1) Дополнительное построение 2)/ СAN = 90˚ 2) Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания 3) / BAC = 0, 5 BC = 0, 5/ BOC 3) Вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается 4) / NAB = 90˚ - / ВАС = 90˚ - 0, 5/ BOC = 4) Следует из п. 1, 3; 0, 5(180˚ - / ВОС) = 0, 5 / AOB => 0, 5 AB

>Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,   равен половине суммы катетов без гипотенузы Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы катетов без гипотенузы В Дано: ΔАВС со сторонами с а, в, с , r – радиус вписанной окружности а r Р К Доказать: r = ½ (а + в - с ) С в А N Доказательство: 1) 1) ВС, АВ – касательные к 2) Отрезки касательных, проведённых окружности к окружности из одной точки, 2) ВК = ВР, АN = AP равны 3) Радиус окружности, проведенный в 3) KC = KN = r точку касания, перпендикулярен 4) BK = a – r, AN = в – r касательной 4) По условию, следует из пункта 3 5) AB = a – r + в – r = c 2 r = a + в – c, r = ½ (а + в - с ) 5) По условию, следует из пункта 4

>Диаметр, перпендикулярный хорде, делит его пополам    Дано: AB хорда окружности; Диаметр, перпендикулярный хорде, делит его пополам Дано: AB хорда окружности; С – точка пересечения отрезка АВ и перпендикулярного диаметра Доказать: АС=ВС Доказательство: 1) АОВ равнобедренный *АО=ВО=R 2) ОС его высота 3) ОС биссектриса и медиана 4)АС=ВС

>  В  АВС= ½ АС,     АВС=1/2  АОС В АВС= ½ АС, АВС=1/2 АОС ВПИСАННЫЙ УГОЛ РАВЕН ПОЛОВИНЕ О ДУГИ, НА А С КОТОРУЮ ОН ОПИРАЕТСЯ

>   Д   Произведение  отрезков С    Д Произведение отрезков С секущей окружности равно А квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки. Доказательство: В 1) Соединим точку касания Д с точками А и В. 2) Рассмотрим и : а) - общий б) = 3) 4) =

>    K   Угол между секущими   Сα K Угол между секущими Сα D равен полуразности отсекаемых дуг. α = 2 : (AB - CD) А Доказательство B 1. Угол К = угол АDB–угол А 1. Угол К является внутренним углом треуголника АKD. 2. Угол АDB = половине 2. Вписанный угол равен дуги АВ половине дуги, на которую он опирается. 3. угол А равен половине дуги СD. 3. См. п. 2. 4. α = 2 : (AB - CD) 4. Следует из п. 2 и 3.

>  Площадь параллелограмма равна половине произведения  диагоналей на синус угла между ними. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. d₁ d₂ Дано: а 1)Параллелограмм ϕ 2)Диагонали d₁ и d₂ в 2(a²+в²)=d₁²+d₂² SΔ=½∙а∙в∙sinγ S=2(½∙½d₂∙½d₁∙sinϕ+½∙½ ₂∙sin 180 )=2¼d₁∙d₂∙sinϕ=½d₁∙d₂∙sinϕ ₁∙½ ϕ

>   М     Дуги, заключенные между А  М Дуги, заключенные между А В параллельными хордами, равны. K Дано: окружность; MN диаметр; АВ и СD – хорды. E Доказать: ᴗAC=ᴗВD С D N Доказательство: 1)Пусть хорда АВǁ ВD. 2)Проведём диаметр MN_│_ АВ. 3)Так как СD ǁ АВ, то MN_│_ CD. 4) Перенесём чертёж по диаметру MN так , чтобы правая часть совпала с левой. Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN. 5)Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда ᴗАВ=ᴗВD

>Угол между пересекающимися хордами равен полусумме отсекаемых дуг. А   В  D Угол между пересекающимися хордами равен полусумме отсекаемых дуг. А В D ϕ Доказать: ϕ=½(АВ+СD) С 1)Проведем хорду АD, где D – точка пересечения прямой ВC с окружностью 2)ʟϕ внешний угол Δ АВD 3)ʟА и ʟD вписаны в окружность 4)ʟА равен половине центрального угла, дугой которого является DС 5)ʟD равен половине центрального угла , дугой которого является АВ 6)Отсюда следует, что ϕ=½(АВ+СD)

> Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную  сторону на части, пропорциональные сторонам Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника: Дано: АВС ВD биссектриса Доказать: К Доказательство: 1) АС – общая высота, то 2) 2) 3) 3) Следует из п. 1, 2

>   Площадь кругового сегмента Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и Площадь кругового сегмента Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга Площадь всего круга πr 2 Площадь кругового сектора, ограниченного Дугой в 1° - π r 2/360° Площадь кругового сектора в α градусов выражается формулой

>   М  В   С    В М В С В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны Р Дано: 1) АВСД описан около окружности; О N 2)АВ, ВС, СД и ДА – касательные и окружности Доказать: АВ + СД = АД + ВС Доказательство К Д А 1) Обозначим точки касания буквами M, N, K, P 2) На основании свойств касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем : АР = АК; ВР = ВМ; ДN = ДК; СN = СМ 3)Сложим почленно эти равенства Получим: АР + ВР + ДN + СN = АК + ВМ + ДК + СМ, т. е. АВ + СД = АД + ВС