Операции на множестве Вводный курс математики Операции

Операции на множестве Вводный курс математики

Операции на множестве Отображение T: An A называется n-арной операцией 3 T: Z Z a, b, c Z T(a, b, c) = (a+b)(a+c) Отображение T: A A называется унарной операцией T: R R a R T(a) = a 2

Бинарные операции Бинарная операция – отображение T: A A A a, b A c A T(a, b)=c a. Tb=c Примеры: На R сложение, умножение, вычитание Возведение в степень a T b = ab на N , - на множестве подмножеств некоторого множества

Свойства бинарных операций T: A A A 1) Коммутативность a, b A a T b = b T a a, b Z a b = b a 2) Ассоциативность a, b, c A a T (b T c) = (a T b) T c a, b, c Z a+(b+c) = (a+b)+c

3) Нейтральный элемент e A a T e = e T a = a 0 Z a+0 = 0+a = a 1 N a 1 = 1 a = a 4) Симметричный элемент (нейтрализатор) a A a' A a T a' = a' T a = e a Z a' Z a+a' = a'+a = 0 a'=-a Свойство выполняется a N a' N a a' = a' a = 1 a'=1/a – не всегда натуральное число Свойство НЕ выполняется

T: A A A и П: A A A 5) Дистрибутивность П относительно Т a, b, c A a П (b T c) = (a П b) T (a П с) (b T c) П a = (b П a) T (c П a) a, b, c Z a (b+c) = (a b)+(a c) a, b, c Z a (b-c) = a b-a c

Бинарные операции Аддитивная терминология: Операция + (сложение) 0 (ноль) – нейтральный элемент -a (противоположный элемент) – нейтрализатор Мультипликативная терминология: Операция (умножение) 1 (единица) – нейтральный элемент a-1 (обратный элемент) – нейтрализатор

Гомоморфизм T – бинарная операция на E P – бинарная операция на F Гомоморфизм Е в F – отображение f: E F, при котором: a, b E f(a T b) = f(a) P f(b) Если при этом отображение f инъективно, то f – мономорфизм Если при этом отображение f сюръективно, то f – эпиморфизм Если при этом отображение f биективно, то f – изоморфизм