Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задачей Коши для дифференциального уравнения и n–го образца называется задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего решению этого уравнения Где -заданное число.

Общим решением этого уравнения называется n-параметрические семейства Удовлетворяющим следующим двум условиям: 1) При любых допустимых значениях параметров соответствующая функция семейства (2) есть решение данных дифференциальных уравнений. 2) Для любых допустимых начальных условий (1) найдутся такие значения параметров , при которых соответствующая ситуация семейства будет удовлетворять заданным начальным условиям. Общее решение в неявной форме называется общим интегралом дифференциального уравнения. Всякое решение, полученное из общего при конкретных значениях параметров называется частным решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными есть уравнения вида Решаются путем разделения переменных и последующего интегрирования

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида Где удовлетворяет уравнению при любых допустимых t. Однородные дифференциальные уравнения допускают y=ux приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно u.

Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, линейное, первой степени, относительно искомой функции ее производной всякое уравнение первого порядка относительно y может быть записано в виде. Линейное уравнение y=uv приводится к следующим уравнениям с разделяющими переменными. Уравнение Барулли есть уравнение вида , где x любое действительное число, отличное от нуля единицы. Уравнение Беркулли может быть решением-подстановкой y=uv.

Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Уравнение вида и допускает понижение порядка, т.е. может быть приведено к двум уравнениям первого образца. Первое из этих уравнений решается подставкой y=p(x), а второе .