Обтекание сферической частицы стоксовым потоком Диффузия к падающей

Обтекание сферической частицы стоксовым потоком Диффузия к падающей твердой частице Конвективная диффузия к твердой частице

Обтекание сферической частицы стоксовым потоком Рассмотрим обтекание твердой сферической частицы радиуса а однородным поступательным стоксовым потоком со скоростью U и вязкостью μ. В сферической системе координат исходные уравнения принимают вид: где

Обтекание сферической частицы стоксовым потоком Граничные условия на поверхности сферы: vr=vθ=0 при R=a. Условия на бесконечности: vr→ U cos θ , v θ → – U sin θ при R→∞ Компоненты скорости жидкости выражаются через функцию тока: Подставляя эти зависимости в уравнения движения получаем уравнения для функции тока: Решение: Где А, В,С, D- произвольные постоянные, Jn - функция Гегенбауера

Обтекание сферической частицы стоксовым потоком Используя граничные условия и ограничиваясь первым членом разложения получаем Отсюда компоненты скорости и давление: где Р – невозмущенное давление вдали от частицы.

Диффузия к падающей твердой частице Пусть частица настолько мала, что соответствующее число Рейнольдса Rе = Ua/ (где U — скорость падения и а — размер частицы) <<1, и PeD=Uа/D>>1. Режим движения бинарного раствора вокруг частицы вязкий, и распределение скоростей вблизи падающей частицы определяется по формуле Стокса. Уравнение конвективной диффузии в пограничном слое в сферических координатах г и  имеет вид: Решение уравнения конвективной диффузии ищется при значениях r, близких к радиусу частицы а. (y=r-a; y/a<<1) (Из решения задачи о стоксовом обтекании шара)

Диффузия к падающей твердой частице Соответственно компоненты скорости выражаются через функцию тока: Уравнение диффузии запишем в переменных Ψ,θ. Для этого представим При малых значениях у (у<< а)

Диффузия к падающей твердой частице Уравнение конвективной диффузии в переменных (, ) перепишется в виде Подставляя v, получаем: Граничные условия: с = 0 при  = 0 (на поверхности частицы), с = с0 при > (вдали от поверхности частицы), с = с0 при  = 0,  = 0. Введем новую переменную

Уравнение диффузии преобразуется к виду: Диффузия к падающей твердой частице Это уравнение имеет автомодельное решение вида с=с(η), Имеем

Уравнение диффузии в полных производных Диффузия к падающей твердой частице Произведя замену получаем Решение последнего уравнения где Из граничного условия на поверхности частицы С3=0, из условия на бесконечности

. Диффузия к падающей твердой частице Из условия в точке набегания потока на частицу  = 0 концентрация с должна быть однозначной положительной функцией угла . При малых  sin(2θ) разлагается в ряд и z определяется Для выполнения условия с=с0 при θ=0 необходимо, чтобы С1=0. Следовательно Диффузионный поток на поверхности частицы

Диффузия к падающей твердой частице

I=7,98c0D2/3U1/3a4/3 Диффузия к падающей твердой частице Толщина диффузионного слоя имеет вид: Полный поток I вещества на частицу: При PeD(=Ua/D)<<1 перенос вещества к сфере происходит за счет чистой диффузии, а конвективным потоком можно пренебречь. Уравнение диффузии преобразуется Dс=0. Распределение концентрации зависит только от радиуса, т.е.