Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) ПРОГРАММА по теоретической механике для бакалавров (направление строительство) (3 -й семестр) на 2012 г. Составитель: докт. физ. -мат. наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич Кафедра теоретической механики 2
Экзамен по теоретической механике На экзамен выносится два раздела: • кинематика • динамика 1. 1. ВВЕДЕНИЕ 2
I. Кинематика 1. 1. Кинематика точки 3
1. 1. 1. Программа раздела • Основные понятия • Задачи кинематики • Способы задания движения точки • Траектория точки • Скорость точки и годограф скорости • Ускорение точки • Касательное и нормальное ускорения • Радиус кривизны 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. КИНЕМАТИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 52
1. 1. 1. Задачи кинематики Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение тела с геометрической точки зрения, т. е. без учета сил, действующих на тело Движение материальной точки – это изменение ее положения относительно какого-либо другого тела (тела отсчета) с течением времени Положение объекта задается расстоянием до некоторого другого объекта и является относительным. Относительным является и само движение Задачи кинематики 1. Определение математических способов задания движения тела 2. Определение для заданного способа задания движения тела его кинематических характеристик 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 5
1. 1. 2. Пространство и время • Постулируется существование не связанных между собой абсолютного пространства и абсолютного времени • Свойства пространства и времени не зависят и от того, как движутся тела • Пространство является трехмерным евклидовым пространством, оно однородное и изотропное • Время также однородное и одинаково во всех точках пространства • Время изменяется непрерывно, а наблюдатель измеряет "расстояние" между различными моментами времени часами • Часы универсальны и их показания не зависят от того, расположены они в покоящихся или движущихся объектах • Однородность времени означает отсутствие выделенных моментов времени. Выбор начала отсчета времени поэтому диктуется лишь конкретной решаемой задачей 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 6
1. 1. 3. Векторный и координатный способы z k i • Пусть точка М движется относительно системы отсчета Oxyz М O j • С течением времени положение точки М относительно данной системы отсчета меняется y x Камера Вильсона. Визуализация траекторий элементарных частиц 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ 1. КИНЕМАТИКА ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 7
1. 1. 4. Естественный способ задания А – О + s s = s(t) • Пусть точка М движется вдоль траектории АВ • Выберем на этой траектории какую-нибудь точку О, которую примем за начало отсчета M • . Будем считать траекторию криволинейной координатной осью и установим на ней положительное и отрицательное направления • Введем криволинейную координату s, длину B криволинейного отрезка ОМ, взятую с соответствующим знаком Закон движения точки вдоль траектории M • Стоит заметить, что уравнение s = s(t) – + О определяет положение точки на M s траектории, а не путь, пройденный ею M 1 • Пройденный путь равен 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ 1. КИНЕМАТИКА 8
1. 1. 6. Связь естественного и координатного способов z • Пусть точка M движется вдоль траектории АВ A – O • Приращение траектории s за время t равно Δs + М Δx Δz О Δy При B y x • Координаты s, x, y, z – функции времени где 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС Коэффициент трения покоя • 1. КИНЕМАТИКА 9
1. 1. 7. Скорость точки • Рассмотрим движение точки М вдоль траектории M(t) z r( О x • Пройденный путь равен s ~ r M(t+ t) t) ΔS • Введем среднюю скорость y • Переходя здесь к пределу t → 0, получим мгновенную скорость точки • Скорость материальной точки – это векторная кинематическая характеристика точки, определяющая быстроту изменения ее положения относительно данной системы координат и равная производной от радиус вектора точки по времени. Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону ее движения. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 10
1. 1. 8. Ускорение точки • Как определить быстроту изменения скорости точки? • Пусть материальная точка М движется вдоль траектории M(t) M(t+ t) • Определим приращение скорости за время t • Определим среднее ускорение • Переходя здесь к пределу t → 0, получим мгновенное ускорение точки • Таким образом, ускорение точки – это векторная кинематическая величина, характеризующая быстроту изменения ее скорости и равная первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора по времени 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 11
1. 1. 9. Тангенциальное и нормальное ускорение Т. о. , где ω = v/ρ – тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине – нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по направлению 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 12
1. 1. 10. Оси естественного трехгранника Спрямляющая плоскость O + В этой системе координат М – Аналогично ускорение Нормальная плоскость 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Соприкасающаяся плоскость 13
I. Кинематика 1. 2. Кинематика ТТ 14
1. 1. 1. Программа раздела • Задание движения твердого тел • Степени свободы • Поступательное движение твердого тела • Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси • Угловая скорость и угловое ускорение • Скорость и ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг оси • Вращательное и центростремительное ускорения • Равномерное и равноускоренное вращение твердого тела вокруг оси • Движение твердого тела с одной неподвижной точкой 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 1. КИНЕМАТИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 15
1. 2. 2. Задание движения ТТ z O x y • Пусть дано твердое тело (ТТ) • По определению это совокупность материальных точек, расстояние между которыми фиксированы и не меняются со временем • Закон движения скольки точек нужно задать, чтобы определить движение ТТ? • Пусть задан закон движения • Радиус-вектор произвольной точки k твердого тела равен • Модуль вектора постоянен, но относительная скорость • Таким образом, знание кинематических характеристик одной точки твердого тела не позволяет определить кинематические характеристики любой другой его точки 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 16
1. 2. 3. Степени свободы • Положение трех точек твердого тела в произвольный момент времени характеризуется девятью координатами i = 1, 2, 3 Поскольку, однако, в твердом теле расстояния между любыми двумя его точками постоянны, то эти координаты связаны тремя условиями Число независимых параметров (или координат), определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней свободы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 17
1. 2. 4. Поступательное движение ТТ Поступательным называется такое движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, остается в процессе движения параллельной самой себе • Очевидно, любое прямолинейное движение твердого тела является поступательным А В • Однако есть примеры поступательных движений, когда траектории С D отдельных его точек вовсе не являются прямыми линиями • Cпарник АВ при вращении кривошипов АС и BD также движется поступательно, он остается параллельным самому себе 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 18
1. 2. 5. Теорема о кинематических характеристиках При поступательном движении твердого тела все его точки описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения Доказательство • Для любых двух точек А и В z или O y x • Таким образом, траектория точки В получается из траектории точки А простым сдвигом на постоянный вектор , это и означает, что траектории конгруэнтны (при наложении совпадают) 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 19
1. 2. 6. Вращательное движение ТТ z K • Положение твердого тела полностью опреде лится углом поворота φ этого тела вокруг оси A B(t) φ B(0) • Введем подвижную систему координат связанную с телом • Угол поворота φ тогда можно определить как угол, образуемый между осями в плоскости ху O x φ φ • При повороте тела на угол φ точка В y поворачивается вокруг оси также на этот угол • Закон движения произвольной точки тела определяется тогда уравнением Это уравнение называется законом вращательного движения твердого тела 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 1. КИНЕМАТИКА 20
1. 2. 7. Угловая скорость z K O • Закон движения имеет вид: A B(t) φ B(0) • За промежуток времени t тело повернется на угол φ φ • Переходя к пределу, получим мгновенную угловую скорость y x φ • Угловая скорость измеряется в радианах в секунду или числом оборотов в минуту • Вектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения в сторону, откуда это вращение видно происходящим против часовой стрелки 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 1. КИНЕМАТИКА ТТ 21
1. 2. 10. Угловое ускорение • Если за промежуток времени t угловая скорость тела изменяется на ω, то можно ввести среднее угловое ускорение тела за время t • Переходя к пределу, получим мгновенное угловое ускорение • Размерность угловой скорости и углового ускорения: z A O O y x • Замедленное вращение x 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 1. КИНЕМАТИКА y • Ускоренное вращение 22
1. 2. 11. Скорость и ускорение точек ТТ Действительно, • Определим теперь ускорение точки В z A K O x – вращательное ускорение B – центростремительное ускорение y 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 1. КИНЕМАТИКА 23
2. 2. 12. Вращение относительно произвольной оси • В общем случае твердое тело может вращаться относительно оси , не сов падающей по направлению ни с одной из осей данной системы координат • Угловая скорость вращения тела вокруг оси z снова можно определить соотношением A но где O • Если lx=ly=0, то тело вращается вокруг оси Oz и, как мы установили, , где φ – угол поворота x тела вокруг этой оси • Аналогично, если ввести углы поворота тела φx, φy и относительно двух других осей, то y Т. о. , вращение тела относительно произвольной оси можно представить как суперпозицию вращений относительно трех осей неподвижной декартовой системы отсчета 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 1. КИНЕМАТИКА ТТ 24
1. 2. 13. Передаточные механизмы 1 4 I II A B Вал I вращается с угловой скоростью ω1. Определить угловую скорость вращения вала II, если радиусы колес (шестерней) механизма равны r 1, r 2, r 3, r 4. Решение 2 3 • Колесо 1 жестко скреплено с валом I, поэтому I = 1 • Аналогично 4 = II • Приравнивая скорости в точках A и B контакта колес, получим • Учитывая, что колеса 2 и 3 жестко скреплены, получаем 2 = 3 или 7. 3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ 1. КИНЕМАТИКА ТТ 25
I. Кинематика 1. 3. Плоское движение ТТ 26
1. 3. 1. Программа раздела • Задание движения • Скорости точек тела при плоском движении • Теорема о проекциях скоростей двух точек тела • Мгновенный центр скоростей • Ускорение точек при плоском движении 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 1. КИНЕМАТИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 27
1. 3. 2. Определение и мотивация Движение твердого тела называется плоским (плоскопараллельным), если все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости Иллюстрация работы кривошипно-шатунного механизма. Передача движения колесу 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 1. КИНЕМАТИКА 28
1. 3. 3. Уравнение плоского движения y • Будем описывать движение сечения S относительно неподвижной системы координат Oxy, жестко связанной с плоскостью P S B А x O • Положение сечения относительно этой системы координат определяется положением какого либо принадлежащего ему отрезка AB • Т. о. , плоское движение ТТ слагается из поступательного движения вместе с полюсом и вращения вокруг полюса • Этим степеням свободы соответствует движение вдоль осей Оу и Ох и вращение относительно некоторой точки х1 y А φ B S O 1. КИНЕМАТИКА • Введем вспомогательную систему координат с у1 началом в точке А (полюсе) тела и осями , x , параллельными соответствующим осям неподвижной системы координат 29
1. 3. 4. Теорема о скоростях точек ТТ х1 • Скорость произвольной точки М находится дифференцированием закона движения М y φ А O у1 x где введена скорость движения точки М относительно полюса А Скорость произвольной точки М ТТ, совершающего плоское движение, геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости этой точки в ее вращении вместе с телом вокруг полюса 1. КИНЕМАТИКА 30
1. 3. 5. Теорема о скоростях 2 -х точек Скорости произвольных двух точек связаны между собой Следствие 1 Проекции скоростей двух точек сечения S на прямую, их соединяющую, равны М А • Для доказательства достаточно спроеци ровать уравнение скоростей на прямую АМ и учесть, что Следствие 2 • Если точки А, В и С сечения S лежат на одной прямой, то концы векторов скоростей этих точек, тоже лежат на одной прямой, причем 1. КИНЕМАТИКА 31
1. 3. 6. Теорема о МЦС Мгновенным центром скоростей (МЦС) сечения тела (или плоской фигуры) называется точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю Теорема Если угловая скорость рассматриваемого сечения S в данный момент времени отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует и единственен Действительно, рассмотрим сечение S • Пусть в некоторый момент времени t точки A и B имеют скорости, не параллельные другу • Это следует из теоремы о проекциях скоростей, так B как если бы скорость была отлична от нуля, то А S она одновременно должна была бы быть перпенди кулярна к АА’ и BB’. Последнее, однако, C невозможно в силу непараллельности скоростей точек А и В B’ А’ Теорема доказана 1. КИНЕМАТИКА 32
1. 3. 7. Нахождение МЦС • МЦС может быть найден, если известны скорость одной точки тела, например A, и линия действия скорости второй точки тела, например, B A C ω • Восстановив перпендикуляры к вектору скорости точки A и к линии действия скорости точки B, находим точку их пересечения C, которая и будет МЦС • Вращение тела происходит туда, куда вектор скорости v. A первой точки поворачивает тело вокруг МЦС B • При определении скоростей точек тела плоское движение можно представить как последовательность мгновенных вращений вокруг мгновенного центра скоростей, который сам перемещается в плоскости движения тела 1. КИНЕМАТИКА 23
1. 3. 8. Теорема о сложении ускорений точек Ускорение любой точки тела, совершающего плоское движение, определяется как сумма ускорения полюса и ускорения данной Теорема о сложении ускорений точки во вращательном движении вокруг полюса Доказательство A B Теорема доказана 1. КИНЕМАТИКА 24
I. Кинематика 1. 4. Сложное движение 35
1. 4. 1. Программа раздела • Относительное, переносное и абсолютное движения • Абсолютная, относительная и переносная скорости и ускорения точки • Теоремы о сложении скоростей и ускорений • Ускорение Кориолиса • 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 1. КИНЕМАТИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 36
1. 4. 2. Измерение расстояния относительно НСО z z 1 y 1 O 1 x 1 O O x y M x y Введем неподвижную систему отсчета • • Движение относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным • Введем неинерциальную систему отсчета • Движение относительно подвижной системы отсчета • Наша задача описать движение точки относительно НСО называется относительным • • Движение подвижной системы отсчета относительно Первое, что необходимо сделать – это задать движение точки неподвижной называется переносным движением 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 1. КИНЕМАТИКА 37
1. 4. 3. Теорема о сложении скоростей M z z 1 y 1 O 1 x 1 O y x • Если точка М не движется относительно подвижной системы отсчета, то , и ее абсолютная скорость совпадает тогда со скоростью движения подвижной системы отсчета относительно неподвижной • По определению это и есть скорость переносного движения Теорема. Абсолютная скорость точки равна сумме относительной и переносной скоростей 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 11. КИНЕМАТИКА 38
1. 4. 4. Теорема Кориолиса • Если точка покоится относительно подвижной системы отсчета, то ее движение совпадает с переносным движением, а абсолютное ускорение – с переносным ускорением Теорема. Абсолютное ускорение точки равно сумме относительного , переносного и кориолисова ускорений 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 1. КИНЕМАТИКА 39
1. 3. 5. Ускорение Кориолиса Это ускорение обращается в нуль, если Гюстав Гаспар Кориолис 1792 -1843 • угловая скорость подвижной системы отсчета равна нулю ω=0, т. е. переносное движение поступательное • угловая скорость вращения подвижной системы отсчета параллельна относительной скорости ω • относительная скорость точки равна нулю Модуль ускорения Кориолиса равен 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 1. КИНЕМАТИКА 40
II. Динамика 2. 1. Динамика точки 41
2. 1. 1. Программа • Задачи динамики • Масса. Эквивалентность инертной и гравитационной масс • Законы Галилея-Ньютона • Инерциальные системы отсчета • Дифференциальные уравнения движения точки • Прямолинейное и криволинейное движения точки • Движение тела в среде с сопротивлением • Движение тела, брошенного под углом к горизонту 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 42
2. 1. 2. Задачи динамики • Механической системой называется совокупность взаимодействующих между собой материальных точек или тел • Динамика изучает движение данных точек или тел, возникающее при их взаимодействии Динамика изучает движение материальных тел под действием сил Задачи динамики • Первая задача состоит в определении сил, действующих на механическую систему, по заданному закону ее движения • Во второй же заданы силы, действующие на механическую систему и необходимо найти закон ее движения • На практике часто приходится решать смешанную задачу, когда часть сил известна, а некоторые (реакции связей) необходимо найти наряду с законом движения 43
2. 1. 3. Закон инерции Галилея 1 -я аксиома динамики Свободная материальная точка покоится или равномерно и прямолинейно двигается • Сформулированная аксиома является выражением того эксперименталь ного факта, что отличить состояние покоя от равномерного и прямолинейного движения нельзя • Действительно, если относительно некоторой системы отсчета К точка • Т. о. , точка М в движется относительно системы К’ прямолинейно покоится, то всегда можно построить такую систему К’, относительно которой со скоростью данная точка будет двигаться равномерно и прямолинейно z О x 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА z’ y x’ z’ z’ О’ M О’ О’ x’ x’ y’ y’ y’ 44
2. 1. 4. Второй закон Ньютона Аксиома 2 Если в некоторой инерциальной системе отсчета на свободную материальную точку действует сила , то скорость изменения импульса (количества движения) материальной точки равна действующей на нее силе или • Т. о. , масса является мерой инерции тела. Инертность тела, т. е. его способность двигаться без изменения скорости тем больше, чем больше масса. По этой причине эту массу называют инертной • Масса величина аддитивная и скалярная • В классической механике предполагается, что масса тела во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не меняется со временем или 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 45
2. 1. 5. Третий закон Ньютона Аксиома 3 Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны 1 2 Аксиома 4 Действие на материальную точку произвольной системы n сил эквивалентно действию одной силы, равной их сумме 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 46
2. 1. 6. Аксиома связей Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями Замечание Формально, первый закон Ньютона является простым следствием второго Закон инерции Галилея постулирует существование инерциальных систем отсчета, и тем самым указывает на рамки применимости При F = 0 a = 0 v = const второго закона Ньютона. Сформулированные аксиомы Зачем же нужен закон инерции? применимы лишь в инерциальных системах отсчета 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 47
2. 1. 7. Определение силы по закону движения • Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка • Оно устанавливает связь между силами, действующими на точку, и ее ускорением при векторном способе задания движения • Если движение точки задается в декартовой системе координат • При естественном способе задания движения точки, уравнение движения надо спроектировать на естественную систему координат • Первая задача, состоит в определении силы, действующей на точку, по заданному закону движения • Задача имеет решение лишь в том случае, если задана и масса точки • Решение этой задачи всегда возможно и сводится к дифференцированию известных функций, задающих закон движения точки 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. ДИНАМИКА 48
2. 1. 8. Основная задача динамики • Решение второй задачи динамики сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений второго порядка • Эти три уравнения эквивалентны системе шести дифференциальных уравнений первого порядка • Общее решение этой системы уравнений зависит от шести произвольных постоянных и имеет вид • Изменяя в общем решении постоянные интегрирования, мы будем получать различные решения • Каждое из этих решений будет описывать некоторое движение материальной точки под действием одной и тоже силы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 49
2. 1. 9. Начальные условия • Характер этих движений может быть разным и определяется начальными условиями, т. е. координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени t = 0 • В результате каждая из постоянных Ci может быть вычислена, как функция начальных данных • Подставляя эти постоянные в общее решение, получим искомое частное решение задачи, соответствующее конкретным начальным условиям • Сложность решения основной задачи динамики состоит в том, что сила в общем случае может зависеть не только от времени, но и от координат точки и ее скоростей • Поэтому в общем случае системы уравнений Ньютона – это системы нелинейных дифференциальных уравнений 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 50
2. 1. 10. ДУ с разделяющимися переменными • Обыкновенным ДУ с разделяющимися переменными называют уравнение вида • Общее решение такого уравнения имеет вид • Чтобы решить задачу Коши, необходимо определить постоянную С по НУ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 51
2. 1. 11. Решение задачи Коши • При прямолинейном движении точки ее скорость направлена вдоль линии действия силы 0 M v x x • ДУ прямолинейного движения точки имеет вид • Это уравнение эквивалентно системе двух ДУ первого порядка • Задача Коши решается последовательным их интегрированием где постоянные определяются из НУ: 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 52
2. 1. 12. Движение под действием постоянной силы • Будем считать, что прямолинейное движение происходит вдоль оси х Задача 18 M 0 x Решение v x Пусть на точку массы m действует постоянная сила F • Направим ось х вдоль линии действия силы • Уравнение Ньютона в данном случае имеет вид • Пусть НУ имеют вид • • Закон изменения во времени координаты и скорости при ускоренном Разделим переменные в первом ДУ: движении • Решаем второе ДУ: • При а > 0 движение равноускоренное, а при а < 0 – равнозамедленное 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 53
2. 1. 13. Движение под действием силы, зависящей от времени M 0 x v x Пусть на точку массы m действует сила F(t) • Уравнение Ньютона в данном случае имеет вид НУ: • Разделим переменные в первом ДУ: • Решаем второе ДУ: 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 54
2. 1. 14. Силы, зависящие от скорости точки 0 M Пусть точка массы m движется прямолинейно v x x под действием силы F = F(v) • Уравнение Ньютона в данном случае имеет вид НУ: • Интегрируя первое уравнение: • Закон движения имеет вид Твердое тело в газе Силы сопротивления в сплошной среде 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА Твердое тело в жидкости 55
2. 1. 15. Сила, зависящая от координаты точки • Будем полагать, что точка движется под действием силы, зависящей от ее положения НУ: • Это уравнение снова можно решать методом разделения переменных, если от переменных x, t перейти к переменным V, x где или • Закон движения находится интегрированием уравнения 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 56
2. 1. 16. Криволинейное движение Тело массы m брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v 0. Пренебрегая сопротивлением среды и считая дальность полета и высоту над горизонтом малыми по сравнению с радиусом Земли, найти закон движения, траекторию, дальность и время полета, а также высоту траектории. у v 0 • Выберем систему координат Мху α х М • Единственной силой, действую щей на точку является сила тяжести • Уравнение Ньютона в проекциях на оси координат имеет вид НУ: • Исключая из полученных уравнений движения время , получим уравнение траектории 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 57
2. 1. 16. Криволинейное движение у v 0 α М х • Траектория полета – парабола • Дальность полета определим, полагая в уравнении траектории у =0 • Высоту H траектории получим, полагая в уравнении траектории x = L/2 • Время полета 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА 58
II. Динамика 2. 2. Колебательное движение точки 59
2. 2. 1. Программа раздела • Линейный осциллятор • Частота, амплитуда и фаза колебаний • Свободные и вынужденные колебания • Резонанс • Динамика осциллятора при наличии сопротивления 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 60
2. 2. 2. Общее решение ДУ c m x • Это ДУ имеет два частных решения х1, х2, а общее решение определяется их суперпозицией • Частные решения ищем в форме, предложенной Эйлером • Для нахождения собственных значений , подставим эти решения в исходное ДУ • Характеристическое уравнение данного ДУ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 61
2. 2. 3. Период колебаний c T x A m x t 0 –A Т – период колебаний, [c] 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 62
1. 2. 4. Свободные колебания при наличии постоянной силы Уравнение свободных колебаний (F=const) С учетом условия равновесия Получим ДУ свободных колебаний при наличии постоянной силы Постоянная сила, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (F=const) 63
2. 2. 7. Свободные затухающие колебания Сила сопротивления • Выберем начало координат в положении статического равновесия пружины • Второй закон Ньютона c • ДУ свободных затухающих колебаний m x • Характеристическое уравнение данного ДУ Н. У. • В зависимости от соотношения b и ω возможны три различных случая движения точки с массой m 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 65
2. 2. 8. Апериодическое движение 1. Случай большого сопротивления, b > ω, оба решения характеристического уравнения действительные Это апериодическое движение точки, движение x достаточно быстро (почти экспоненциально) затухает по x x времени x 0 t x 0 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА t x 0 t 65
2. 2. 9. Свободные затухающие колебания – декремент затухания T – логарифмический декремент затухания x 3 x 1 t 1 x 2 t 3 t Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за один период 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 66
2. 2. 10. Гармоническая вынуждающая сила • Рассмотрим прямолинейные колебания ЛО, на который действует гармоническая сила O 1 m x Уравнение движения Н. У. Это неоднородное уравнение и его решение имеет вид х1 – общее решение однородного уравнения х2 – частное решение неоднородного уравнения ищем в виде • Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от НУ Подставляя это решение в уравнение, • Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы, т. е. приложенная сила вынуждает систему колебаться со своей частотой 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 67
График вынужденных колебаний 2. 2. 11. Вынужденные колебания в среде с сопротивлением Собственные колебания при наличии сопротивления Вынуждающая сила B – амплитуда Вынужденные колебания при наличии сопротивления t у – время установления 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2 2. ДИНАМИКА 68
2. 2. 12. Коэффициент динамичности (1) – статическое перемещение точки под действием постоянной силы Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний B под действием возмущающей силы больше статического перемещения при действии постоянной силы Амплитуда и начальная фаза имеют вид где 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2 2. ДИНАМИКА 69
II. Динамика 2. 3. Динамика точки относительно неинерциальных систем отсчета 70
2. 3. 1. Программа раздела • Неинерциальные системы отсчета • Уравнение Ньютона относительно НСО • Силы инерции • Переносная и кориолисова силы инерции • Невесомость 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 71
2. 3. 2. Уравнения Ньютона в НСО Уравнение Ньютона в НСО • Если относительное движение отсутствует, то • Сила инерции Кориолиса тогда тоже равна нулю • Условие относительного покоя Если точка находится в покое по отношению к НСО, то сумма всех внешних сил, приложенных к ней, и переносной силы инерции равна нулю 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 72
2. 3. 2. Невесомость • Условие невесомости • Сила инерции равна • Пусть сила тяжести 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2. ДИНАМИКА 73
II. Динамика 2. 4. Динамика системы 74
2. 3. 1. Программа раздела • Механическая система • Масса системы, центр масс системы • Классификация сил, действующих на механическую систему, свойства внутренних сил • Момент инерции ТТ относительно оси и полюса • Радиус инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Теорема Гюйгенса • Осевые моменты инерции некоторых тел • Дифференциальные уравнения движения системы • Дифференциальное уравнение поступательного движения ТТ • Дифференциальное уравнение вращательного движения ТТ • Физический маятник 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 75
2. 4. 2. Классификация сил Внешнее силовое поле • Силовое поле действует на каждую материальную точку системы • Силы, которые действуют между точками механической системы, называются внутренними • Силы, с которыми на точки системы действуют окружающие ее тела или поля, называются внешними 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 76
2. 4. 3. Свойства внутренних сил • По третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют две точки равны по величине и противоположно направлены 1 2 • Главный вектор всех внутренних сил равен нулю 1 2 h • Главный момент всех внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю А 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКАВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ СИЛЫ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 77
2. 4. 4. Центр масс • Важнейшей динамической характеристикой материальной точки, определяющей ее способность сохранять движение, является масса • Так как механическая система состоит из N материальных точек с массой mi, то можно ввести массу всей системы, равную сумме масс ее точек Центром масс механической системы или центром инерции относительно некоторой декартовой системы координат называется точка с координатами 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 78
2. 3. 5. Координаты ЦМ твердого тела • Если плотность распределения массы равна , то • Координаты центра масс равны • Переходя к пределу , имеем 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 79
2. 4. 6. Момент инерции относительно оси Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz называется величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний hi до этой оси z hiz Но mi y O x xi yi Аналогично определяются моменты инерции системы относительно осей Ox и Oy 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 80
2. 4. 7. Момент инерции относительно центра Моментом инерции тела (системы) относительно центра O называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела (системы) на квадрат ее расстояния до этого центра z hiz mi y O x xi yi Моменты инерции точки относительно осей Ox, Oy, Oz равны 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 91
2. 4. 8. Радиус инерции Если момент инерции системы относительно оси Ox равен Jx, а ее масса – М, то величина z hiz mi y O x xi yi называется радиусом инерции системы относительно оси Oх • Радиус инерции определяет расстояние от оси Oх до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела (системы), чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела (системы) 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 82
’ 1. 4. 12. Теорема Гюйгенса z’ z hiz mi O’ x • Если ось Oz проходит через центр масс системы, то y O hiz’ y’ xi yi Теорема Гюйгенса Момент инерции системы относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение его массы системы на квадрат расстояния между осями 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 83
II. Динамика 2. 5. Теоремы динамики 84
2. 5. 1. Программа раздела • Импульс точки и системы • Импульс силы • Теоремы об изменении импульса точки и системы в дифференциальной и интегральной форме • закон сохранения импульса • Момент импульса точки и системы • Теоремы об изменении момента импульса точки и системы • Закон сохранения момента импульса относительно точки и оси • Кинетическая энергия точки и системы • Элементарная работа силы • Работа силы на конечном перемещении • Потенциальные силы, потенциальная энергия • Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы. • Закон сохранения механической энергии для консервативных систем 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 2. ДИНАМИКА 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 85
2. 5. 2. Система уравнений движения • Пусть дана механическая система, z состоящая из N взаимодействующих точек, на которую действуют внешние силы O Внешнее силовое поле x y • Равнодействующую всех внутренних сил, действующих на k-ю точку со стороны других точек, обозначим так: • Тогда для каждой k-ой точки системы в инерциальной системе координат Oxyz уравнение движение имеет вид где - силы реакций связей, наложенных на k-ю точку • Число этих уравнений равно N, а общее решение зависит в общем случае от 6 N произвольных скалярных постоянных 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 86
2. 5. 3. Теорема о движении ЦМ • Уравнения движения системы имеют вид • Чтобы найти закон движения ЦМ системы, просуммируем эти уравнения Теорема о движении ЦМС Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 87
2. 5. 4. Теорема о сохранении движения ЦМ • Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю Теорема о сохранении движения ЦМС Если сумма внешних сил действующих на систему равна нулю, то ее ЦМ движется равномерно и прямолинейно. Если в начальный момент времени ЦМ покоился, то он останется в покое и в дальнейшем Если сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось (например ось x) равна нулю, то вдоль этой оси ЦМС движется равномерно и прямолинейно или покоится, если он покоился в начальный момент времени 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 88
2. 5. 5. Дифференциальная форма теоремы Строго говоря, основной закон динамики для точки имеет вид: Аналогично для системы Суммируя по всем точкам, имеем Теорема об изменении импульса Производная по времени от количества движения (импульса ) системы равна главному вектору действующих на нее внешних сил Или в проекциях на оси координат 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 89
2. 5. 6. Закон сохранения импульса Важнейшим следствие данной теоремы является закон сохранения импульса Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то ее импульс сохраняется Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось также сохраняется Например, 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 91
2. 5. 7. Импульс силы • Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие импульса силы Элементарным импульсом силы называется вектор, равный произведению силы на элементарный промежуток времени Импульсом силы за конечный промежуток времени называется вектор Проекции импульса силы: Если на систему действует несколько сил: Полный импульс силы равен: 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 91
2. 5. 8. Интегральная форма теоремы Дифференциальная форма теоремы об изменении импульса с помощью понятия импульса силы может быть представлена в интегральном виде Изменение импульса механической системы за некоторый промежуток времени равно главному вектору импульсов всех внешних сил, действующих на систему в этот промежуток времени Особенно простой вид эта теорема имеет для точки Внутренние силы непосредственно не могут влиять на изменение импульса системы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 92
2. 5. 10. ДУ для момента импульса точки • Чтобы выяснить, как изменяется момент импульса точки с течением времени, продифференцируем его по времени Теорема I Производная по времени от момента импульса (момента количества движения) материальной точки относительно центра О равна моменту приложенной к точке силы относительно того же центра 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 94
2. 5. 11. ДУ для момента импульса точки относительно оси • ДУ для момента импульса точки можно зависать в проекциях на оси декартовой системы координат Теорема II Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно оси равна моменту приложенной к точке силы относительно той же оси 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 95
2. 5. 12. Теорема сохранения момента импульса точки Пусть Теорема III Если при движении точки момент действующей на нее силы относительно центра О равен нулю, то ее момент импульса сохраняется Поскольку , то момент импульса будет сохраняться, если • равнодействующая всех сил, действующих на точку равна нулю; • линия действия равнодействующей проходит через центр О (в этом случае сила называется центральной, такой силой является, в частности, сила тяжести) 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 96
2. 5. 13. Теорема сохранения момента импульса точки Нередко при движении точки равен нулю лишь момент действующей на нее силы относительно какой-либо оси, например, Oz Теорема IV Если при движении точки момент действующей на нее силы относительно какой-либо оси равен нулю, то ее момент импульса относительно этой оси сохраняется 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 97
2. 5. 14. Момент импульса системы Главным моментом импульса K 0 M 1 или просто моментом импульса системы называется вектор, равный сумме моментов импульса составляющих ее материальных точек z Mn O x M 3 y M 2 • Моменты импульса системы относительно осей определяются соотношениями 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 98
2. 5. 15. Теорема I Производная по времени от главного момента импульса системы относительно центра О равна главному моменту внешних сил, приложенных к этой системе, относительно того же центра Доказательство • Для k-ой материальной точки • Просуммируем эти уравнения по всем точкам системы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 99
2. 5. 16. Теорема II Производная по времени от проекции главного момента импульса системы относительно оси равна главному моменту внешних сил, приложенных к этой системе, относительно той же оси 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 100
2. 5. 17. Законы сохранения момента импульса Если главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно некоторого центра равен нулю, то главный момента ее импульса относительно того же центра сохраняется Если главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно некоторой оси (например, оси х) равен нулю, то главный момент ее импульса относительно этой же оси сохраняется 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 101
2. 5. 18. Элементарная работа силы z • Пусть точка под действием силы движется вдоль траектории LL’ • За время dt материальная точка под действием этой силы смещается на величину элементарного x перемещения dr y Элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведение 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 102
2. 5. 19. Работа силы на конечном пути • Вычислим теперь работу на конечном отрезке траектории • Разобьем ее на малые практически прямолинейные отрезки Δs или α • Переходя к пределу Δs→ 0, • Поскольку 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 103
2. 5. 20. Потенциальные силы Силовое поле называется потенциальным в том случае, если существует скалярная функция U, зависящая только от координат материальной точки, такая, что Функция U называется потенциалом или потенциальной энергией • • Из определения потенциальной энергии следует, что она Вектор потенциальной силы определяется выражением определена с точностью до некоторой постоянной С. Потенциалы U и U+C дают одинаковую силу • Поэтому физический смысл имеет только разность потенциалов 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 104
2. 5. 21. Кинетическая энергия материальной точки i, равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости Кинетическая энергия аддитивна, поэтому кинетическая энергия системы n материальных точек определяется суммой 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 105
2. 5. 22. Теорема Кенига Кинетическая энергия материальной точки i, складывается из кинетической энергии ее центра масс, в котором сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс Доказательство • Скорость любой точки i можно представить, как движение вместе c центром масс и относительно центра масс 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 106
2. 5. 23. Теорема об изменении кинетической энергии точки • Работа силы характеризует то, насколько эффективно точка перемещается под действием этой силы • Остается, однако, не ясной связь между работой силы, приложенной к точке, и изменением ее скорости • Установим эту связь • Умножим это уравнение скалярно на скорость точки • Проинтегрируем это уравнение Теорема I Изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силе на пройденном точкой пути 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 107
2. 5. 24. Теорема об изменении кинетической энергии системы • Уравнение движения k точки системы имеет вид • Интегрируя которое, получим • Складывая почленно эти уравнения, получим Теорема II Изменение кинетической энергии системы при ее переходе из некоторого начального ее состояния в конечное равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе за то же время 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 108
2. 5. 25. Дифференциальная форма теоремы • Сформулированной теореме можно придать иной вид • Суммируя эти уравнения Теорема III Дифференциал кинетической энергии системы на некотором ее перемещении равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 109
2. 5. 26. Закон сохранения механической энергии • Необходимо подчеркнуть, что элементарные работы внешних и внутренних сил в общем случае не являются дифференциалами • Элементарные работы внешних и внутренних сил являются полными дифференциалами, если только эти силы потенциальные • В этом случае Теорема IV где E, равная сумме кинетической и потенциальной энергии системы, называется ее полной механической энергией Если все силы рассматриваемой системы являются • Дифференциал полной механической энергии равен нулю и мы потенциальными, то ее полная механическая энергия приходим к теореме остается постоянной при любом движении системы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 2. ДИНАМИКА СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 110
Типичный билет Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Экзаменационный билет № 3 1. Теорема Корилиса. 2. Свободные колебания при наличии постоянной силы. 3. Задачи. Завкафедрой ТМ д. ф. -м. н. профессор В. Я. РУДЯК 1. 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 111
Литература 1. Рудяк В. Я. , Юдин В. А. Лекции по теоретической механике. Часть I. Статика и кинематика. Новск. 2004 2. Бутенин Н. Н. , Лунц Я. Л. , Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. М. 2008 3. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М. 2008 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 115
В добрый путь …
Скачать презентацию Новосибирский Государственный Архитектурно Строительный Университет Сибстрин ПРОГРАММА по
Programma_2_kursa.ppt