Новосибирский Государственный Архитектурно Строительный Университет Сибстрин Лекция 5

Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекция 5. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ Теория – это некоторым образом квинтэссенция практики. Людвиг Больцман Кафедра теоретической механики 2

Людвиг Больцман 1844 -1906, Вена-Линц-Грац-Вена-Лейпциг -Мюнхен-Вена-Дуино 2

На предыдущей лекции • Была доказана самая важная теорема статики, универсально решающая первую ее задачу • Были установлены условия равновесия и выведены уравнения равновесия • Введено понятие главного момента и главного вектора системы сил 3

На предыдущей лекции Равнодействующая СПС • Было показано, что для плоской системы сил (все силы находятся в плоскости Oxy) имеем три уравнения равновесия. Эти уравнения можно использовать в трех разных формах Основная форма уравнений равновесия ПСС Вторая форма уравнений равновесия ПСС (АВ Ox) Третья форма уравнений равновесия ПСС (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой) 3. 3. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 4

Цель лекции • Расчет плоской фермы • Расчет составной конструкции План лекции 5. 1. Определение плоской фермы 5. 2. Расчет плоской фермы 5. 3. Расчет составных конструкций 5. 4. Заключение 5

5. 1. Плоская ферма 6

Мотивация Металлические каркасы зданий Опоры ЛЭП Мосты 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 5. 1. ПЛОСКАЯ ФЕРМА 7

Определение • Ферма – жесткая, геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из невесомых прямолинейных стержней, соединенных идеальными (без трения) шарнирами • Шарнирные соединения называются узлами фермы • Плоской называется ферма, все стержни и шарниры которой лежат в одной плоскости C 1 A 2 • 4 E 8 3 5 6 7 D 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 5. 1. ПЛОСКАЯ ФЕРМА B 9 G • Узлы фермы будем обозначать большими латинскими буквами A, B, … G Стержни пронумеруем 8

Усилия в стержнях фермы • • Предполагается, что все усилия приложены к узлам фермы. В этом случае все стержни будут испытывать только продольные нагрузки • Действительно, рассмотрим равновесие стержня АВ … A … B • Системы сил, приложенные к узлам, это ССС и их можно заменить равнодействующими • Согласно аксиоме 1, для равновесия тела необходимо, чтобы силы и были равны Т. о. , эти равнодействующие силы образуют уравновешенную систему сил и, следовательно, направлены вдоль стержня 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 5. 1. ПЛОСКАЯ ФЕРМА 9

Статически Расчет ферм определимые фермы • Мы будем рассчитывать фермы без лишних стержней. Ее можно построить присоединяя к треугольной конструкции последовательно по два стержня и шарниру Лишний стержень A B • У плоских статически определимых ферм число реакций должно равняться трем • Число стержней плоской статически определимой фермы определяется формулой k = 2 n – 3, где k – число стержней, n – число узлов СТАТИЧЕСКИФЕРМА 5. 1. ПЛОСКАЯ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ 10

5. 2. Расчет плоской фермы 11

Требования к расчету Расчет плоской фермы сводится к § нахождению сил реакции опор; § определению усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов и/или методом сечений ( Риттера) 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 12

Определение реакций опор фермы Определениеопорных реакций образованная Дана плоская ферма, y A одинаковыми равнобедренными треугольниками, к узлам которой параллельно оси x приложены силы F 1 = F 2 = F 3=2 к. Н a x B • Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил • Освободимся от связи в точке А и заменим ее реакциями • Освободимся от связи в точке В и заменим ее реакцией 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 13

Метод вырезания узлов y III 6 IV 4 II 5 7 3 1 I B 2 V 8 A 9 VI x • Пронумеруем все стержни фермы арабскими цифрами: 1, 2, 3, … 9 • Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами: I, II, …, IV • Рассмотрим равновесие каждого узла и составим для него уравнения равновесия, cчитая условно все стержни растянутыми и направляя реакции шарниров от узлов • Следует учесть, что стержни находятся в равновесии. Поэтому реакции соединительных шарниров должны быть равны по величине и противоположно направлены 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 14

Определение усилий в стержнях фермы Метод вырезания узлов Расчет следует начинать с узла, в котором сходятся два стержня с неизвестными усилиями (узел V) Узел V r YA y III 6 IV 8 V 4 5 7 9 A II 3 1 VI 2 x IB 8 9 Узел IV Узел III 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 15

Определение усилий в стержнях фермы Метод вырезания узлов Узел II Узел I y III 6 IV 8 V 4 5 7 9 A II 3 1 VI 2 x IB Узел VI 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 16

Метод сечений (Риттера) • Метод Риттерау удобен, если необходимо определить усилия в каких-то отдельных стержнях фермы, например, 6, 7, 9 • Число стержней в сечении должно быть не более трех y z 6 IV 5 4 7 3 1 B 2 V 8 9 VI A z x Последовательность действий • Проведем сквозное сечение z–z через стержни 6, 7, 9 • Пользуясь принципом отвердевания, рассмотрим равновесие одной из частей фермы, например, правой • Составляем 3 уравнения равновесия для этой части фермы 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 17

Метод сечений (Риттера) y z 6 IV 7 VI V 9 A z • Решив систему уравнений, находим усилия в стержнях 6, 7, 9 • Полученные результаты можно использовать для проверки усилий, определенных методом вырезания узлов • Если усилия в стержне получилось со знаком « » , то стержень не растянут, а сжат 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ 5. 2. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ 18

5. 3. Расчет составных конструкций 19

Примеры составных конструкций Детская кроватка модуль Сборный производственный 1 -ый панельный дом Новосибирск, 1960 г. Деревянные строительные 1971 -1780 гг. Дмитровский мост, Новосибирск, конструкции 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС КОГСТРУКЦИЙ 5. 3. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ 20

Расчет составных рам 3 м Дано: F 1 = √ 2 к. Н, F 2= 3 к. Н, М = 3 к. Нм С M 1. 5 м 4 м А Определить реакции внешних и внутренних связей 45 о • освобождаемся от внешних связей и заменяем их реакциями 2 м • Система статически неопределимая Метод расчленения В С С M 45 о А В 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС КОНСТРУКЦИЙ 5. 3. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ 21

Расчет составных рам Метод расчленения С M В С А 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС КОНСТРУКЦИЙ 5. 3. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ 22

Расчет составной конструкции из балок Дана конструкция, состоящая из двух однородных балок AB и CD весом P и длиной l, AC = 0. 7 l Определить реакции жесткой заделки А, шарнирной опоры D и давление в точке С на балку AB A D M C B • Освобождаемся от связей и расчленяем конструкцию на две части Балка СD Балка АВ D C M Am B A C 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС КОНСТРУКЦИЙ РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 5. 3. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ 23

Расчет составной конструкции из балок Балка AB y C Am B A Балка СD y x D M C x Находим реакции связей: 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС КОНСТРУКЦИЙ РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 5. 3. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ 24

Основные выводы На данной лекции Вы овладели основными методами расчета • плоских ферм • двухсоставных конструкций • пользуясь этими методами легко рассчитывать и конструкции, состоящие из произвольного числа элементов 5. 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ 25

Тема следующей лекции Центр тяжести Равновесие при наличии трения 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ И МОДЕЛИ 5. 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 26