L1_PointMotion.ppt
- Количество слайдов: 30
Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекции по теоретической механике КИНЕМАТИКА Лектор и автор: докт. физ. -мат. наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич Кафедра теоретической механики 1
Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекция 7. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Я никогда не должен говорить, что тело находится в состоянии покоя или движения, не прибавляя, к каким именно телам оно покоится или изменяет свое положение. Эммануил Кант Кафедра теоретической механики 2
Иммануи л Кант 1724 -1804, Кёнигсберг 3
4
Цель лекции • Сформулировать задачи кинематики • Сформулировать математические методы задания движения точки План лекции 7. 1. Введение в кинематику точки 7. 2. Способы задания движения точки 7. 3. Скорость точки 7. 4. Ускорение точки 7. 5. Заключение 6
7. 1. Введение в кинематику точки 6
7. 1. 1. Задачи кинематики Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение тела с геометрической точки зрения, т. е. без учета сил, действующих на тело Движение материальной точки – это изменение ее положения относительно какого-либо другого тела (тела отсчета) с течением времени Положение объекта задается расстоянием до некоторого другого объекта и является относительным. Относительным является и само движение Задачи кинематики 1. Определение математических способов задания движения тела 2. Определение для заданного способа задания движения тела его кинематических характеристик 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 1. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ ТОЧКИ 8
7. 1. 2. Относительность движения • Совокупность тела отсчета и жестко связанных с ним координатных осей и часов называется системой отсчета • Движение одного и того же тела относительно разных объектов (тел) может быть совершенно различным В системе отсчета поезда В системе отсчета обходчика 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 1. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ ТОЧКИ 9
7. 1. 3. Пространство и время • Постулируется существование не связанных между собой абсолютного пространства и абсолютного времени • Свойства пространства и времени не зависят и от того, как движутся тела • Пространство является трехмерным евклидовым пространством, оно однородное и изотропное • Время также однородное и одинаково во всех точках пространства • Время изменяется непрерывно, а наблюдатель измеряет "расстояние" между различными моментами времени часами • Часы универсальны и их показания не зависят от того, расположены они в покоящихся или движущихся объектах • Однородность времени означает отсутствие выделенных моментов времени. Выбор начала отсчета времени поэтому диктуется лишь конкретной решаемой задачей 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 1. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ ТОЧКИ 10
7. 2. Способы задания движения точки 11
7. 2. 1. Векторный и координатный способы z k i • Пусть точка М движется относительно системы отсчета Oxyz М O j • С течением времени положение точки М относительно данной системы отсчета меняется y x Геометрическое место последовательно След за атомной подводной лодкой занимаемых движущейся материальной точкой положений в пространстве относительно некоторого тела отсчета называется ее траекторией Камера Вильсона. Визуализация траекторий элементарных частиц 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 12
7. 2. 1. Векторный и координатный способы Система траекторий скважин на типичном нефтяном месторождении Long Beach CA. , Shoreline Drilling (1930’s) 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 12
7. 2. 1. Векторный и координатный способы z k i • Пусть точка М движется относительно системы отсчета Oxyz М O j • С течением времени положение точки М относительно данной системы отсчета меняется y x Падение метеорита 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 12
7. 2. 2. Задача 7. 1 Движение точки в плоскости задано уравнениями Точка двигалась в течении 10 с. Определить её траекторию y Решение x O М • В условии задачи уравнения траектория заданы параметрически. Чтобы найти явное ее уравнение, исключим параметр t • Из первого уравнения t = x/2 • Учтем, что движение начинается при t = 0 и дальше t > 0 • При t > 0 координата х положительна Значит, траектория – это часть параболы , и ее начало совпадает с началом координат 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 13
7. 2. 3. Естественный способ задания А – О + s s = s(t) • Пусть точка М движется вдоль траектории АВ • Выберем на этой траектории какую-нибудь точку О, которую примем за начало отсчета M • . Будем считать траекторию криволинейной координатной осью и установим на ней положительное и отрицательное направления • Введем криволинейную координату s, длину B криволинейного отрезка ОМ, взятую с соответствующим знаком Закон движения точки вдоль траектории M • Стоит заметить, что уравнение s = s(t) – + О определяет положение точки на M s траектории, а не путь, пройденный ею M 1 • Пройденный путь равен 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 14
7. 2. 4. Связь естественного и координатного способов z • Пусть точка M движется вдоль траектории АВ A – O • Приращение траектории s за время t равно Δs + М Δx Δz О Δy При B y x • Координаты s, x, y, z – функции времени где 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС Коэффициент трения покоя • 7. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 15
7. 3. Скорость точки 16
7. 3. 1. Апории Зенона Догонит ли Ахиллес черепаху? • Как охарактеризовать движение различных тел, преодолевающих равные отрезки за разное время? • Скорость материальной точки – это векторная кинематическая характеристика движения точки, определяющая быстроту изменения ее положения относительно заданной системы координат 7. 3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ 17
Зенон Элейский V век до н. э. 18
7. 3. 2. Векторный способ задания скорости • Рассмотрим движение точки М вдоль траектории M(t) z О x • Пройденный путь равен s ~ r M(t+ t) r (t ) ΔS • Введем среднюю скорость y • Переходя здесь к пределу t → 0, получим мгновенную скорость точки • Скорость материальной точки – это векторная кинематическая характеристика точки, определяющая быстроту изменения ее положения относительно данной системы координат и равная производной от радиус вектора точки по времени. Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону ее движения. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ 19
7. 3. 3. Координатный способ задания скорости • Чтобы найти проекции скорости, продифференцируем радиус вектор точки 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ 20
7. 3. 4. Естественный способ задания скорости • Координатный способ задания движения точки с естественным связан соотношением M(t) r (t ) z О M(t+ t) y x • Это можно показать и иначе Таким образом, вектор скорости точки при естественном способе задания ее движения направлен по касательной к траектории и равен модулю производной |ds/dt| 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 7. 3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ 21
7. 4. 1. Векторный способ задания ускорения • Как определить быстроту изменения скорости точки? • Пусть материальная точка М движется вдоль траектории M(t) M(t+ t) • Определим приращение скорости за время t • Определим среднее ускорение • Переходя здесь к пределу t → 0, получим мгновенное ускорение точки • Таким образом, ускорение точки – это векторная кинематическая величина, характеризующая быстроту изменения ее скорости и равная первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора по времени 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС 22
7. 4. 2. Координатный способ задания ускорения • Чтобы получить выражение ускорения при координатном способе задания движения точки, выразим вектор ускорения через его проекции на оси координат • С другой стороны, • Сравнивая эти два выражения, находим 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС 23
7. 4. 3. Естественный способ задания ускорения • Первый член в этом выражении направлен по касательной к траектории и определяет касательное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине • Второй член определяет изменение скорости по направлению и направлен по внутренней нормали к траектории • Построим годограф вектора О φ • Скорость изменения этого вектора направ лена по касательной к годографу, т. е. перпендикулярно к • Но полное ускорение направлено в сторону вогнутости траектории 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС 24
7. 4. 3. Естественный способ задания ускорения ? • Чтобы определить величину вектора , рассмотрим снова годограф вектора τ для двух близких моментов времени О φ где – угловая скорость вектора – радиус кривизны траектории 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС 25
7. 4. 3. Естественный способ задания ускорения Т. о. , где ω = v/ρ – тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине – нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по направлению 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС 26
7. 4. 4. Оси естественного трехгранника • Ускорение точки при естественном способе задания ее движения является разложением вектора ускорения в прямоугольной системе координат, связанной с движущейся точкой • Эта система координат называется естественным трехгранником (иногда ее Спрямляющая В этой системе координат называют естественными осями) плоскость • Пусть точка движется вдоль траектории O + М – Нормальная плоскость 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕТОЧКИ 7. 4. УСКОРЕНИЕ ССС в естественной системе координат • Для каждого момента времени введем прямоугольную декартову систему Аналогично ускорение координат с центром в точке М(t) с - касательной осью - осью главной нормали - осью бинормали Соприкасающаяся плоскость 27
7. 5. 1. Основные выводы < Существует три способа математического < < < задания движения: векторный, координатный и естественный Кинематическими характеристиками точки являются ее траектория, скорость и ускорение Скорость точки определяется производной по времени от ее радиуса-вектора Ускорение точки определяется производной по времени от ее скорости или второй производной по времени от радиус-вектора 7. 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ 28
7. 5. 2. Тема следующей лекции Кинематика. Лекция 2. Простейшие движения Поступательное движение твердого тела Вращательное движение 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ 7. 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 29
L1_PointMotion.ppt