Непараметрические критерии. Непараметрический критерий Вилкоксона Критерий Уайта Критерий

Непараметрические критерии

Непараметрический критерий Вилкоксона Критерий Уайта Критерий Знаков

В последнее время в математической статистике интенсивно разрабатываются непараметрические методы, которые строятся на как можно меньшем количестве допущений Ранг – порядковый номер выборочного значения, если в выборке нет совпадающих значений Если же они есть, то ранг определяется как среднее арифметическое порядковых номеров совпадающих значений

Критерий Вилкоксона Это непараметрический критерий - аналог параметрического критерия Стьюдента для связанных выборок, т.е. выборок, полученных при парных сравнениях Количество элементов в выборках должно быть одинаковым

Алгоритм применения: Задаем уровень значимости Записываем значения выборок xi и yi в виде столбцов попарно Отбрасываем пары с одинаковыми значениями xi и yi и для дальнейших расчетов объем выборки (количество пар значений) сокращаем на число отброшенных пар Находим разности каждой пары значений (xi - yi) и обозначаем эту разность di Находим ранги абсолютных значений разностей пар значений di (начинаем проставлять ранги с самой маленькой разности) Отдельно записываем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей Находим по отдельности суммы рангов отрицательных и положительных разностей

Меньшую из найденных сумм принимаем в качестве расчетного критерия Вилкоксона (Wp). Из таблицы критических значений критерия Вилкоксона находим граничное значения критерия Wгр при заданном уровне значимости и объеме выборки N. Делаем вывод: если расчетное значение критерия Вилкоксона меньше или равно граничному значению ( Wр < Wгр), то нулевая гипотеза отбрасывается и наблюдаемое различие связанных выборок является статистически значимым. В противном случае различие статистически недостоверно.

ПРИМЕР Оценить изменение содержания глюкозы, мг %, в крови у 12 футболистов до нагрузки х і и через 20 мин после нее у і.

Решение: Сравним исходные данные при помощи критерия Вилкоксона (попарно). Критерий определим как меньшую из сумм рангов, назначенных положительным и отрицательным попарным разностям исходных данных W = 6,5. Определим граничное значение критерия из таблицы Вилкоксона при надежности Р = 0,95 (или уровне значимости р=0,05) и объеме n = 11, т.е. по числу рассмотренных пар без одного нулевого значения n = 12 Wгр = 15.

Вывод: Поскольку Wр < Wгр. , приходим к выводу о статистически достоверном различии между исходными данными. Таким образом, у испытуемых существенно увеличилось содержание глюкозы в крови после тренировочной нагрузки. Это, по-видимому, свидетельствует об эффективности предложенной нагрузки.

Критерий Уайта Критерий применяется при сравнении двух больших, независимых разновеликих выборок для установления достоверности различий

Алгоритм применения: Задается уровень значимости Эмпирические данные ранжируются по двум линиям, которые соответствуют исследуемым группам. Ранжирование производится одновременно для обеих групп Полученные ранги суммируются по каждой линии отдельно и меньшая из сумм принимается за расчетное значение критерия По таблице для заданной надежности и соответствующих объемов выборок находим граничное значение критерия Уайта Если расчетное значение критерия Тр меньше или равно граничному значению Тгр, то различие между выборками есть статистически значимым. В противном случае различие статистически недостоверно и выборочные значения можно считать одинаковыми.

Пример. Два пловца X и Y в равноценных условиях 10 раз проплыли 25-метровую дистанцию. Проанализировав время прохождения дистанции первым xi (мс–1) и вторым уi (мс–1) пловцами, определить достоверность различия полученных данных. Время прохождения дистанции первым xi (мс–1) и вторым уi (мс–1) пловцами

Решение: Ранжируем данные и присваиваем им ранги Суммируем ранги отдельно R хi и R уi Тх = 1+ 2,5 + 5 + 5 + 8 + 8+ 12 +12 + 15,5 + 18 = 87,0 Ту = 2,5 + 5 + 8 + 12 + 12 + 12 + 15,5 + 18 + 18 + 20 = 123,0 Меньшая из сумм принимается за расчетное значение критерия Уайта — Тр = 87,0 По таблице граничных значений критерия Уайта при заданном уровне значимости р = 0,05 и количестве эмпиричных измерений пх — пу = 10 находим граничное значение критерия Тгр = 78

Вывод: Поскольку Трасч > Тгр, то различие между выборками статистически недостоверно. Показатели обоих пловцов на 25-метровой дистанции существенно не отличаются, пловцы — спортсмены одной квалификации

Критерий знаков Этот критерий применяется при сравнении больших, равновесных выборок с попарно сопряженными вариантами. Такие задачи встречаются в тех случаях, когда рассматривается один и тот же объект до и после опыта или сравнивается аналогичный признак в нескольких группах, например, в контрольной и экспериментальной

Алгоритм применения: Задается уровень значимости Записываем значения выборок xi и yi в виде столбцов попарно В третьем столбце улучшение результата обозначается знаком плюс (+), ухудшение — знаком минус (–). Необходимо помнить о том, что в практике спорта под улучшением в одних случаях понимается увеличение абсолютного значения (прирост силы, веса, расстояния), в других случаях — уменьшение (время прохождения дистанции) Подсчитываются суммы положительных, отрицательных и нулевых изменений Сумма отрицательных изменений – расчетное значения критерия «знаков» Zp По таблице границ критической области критерия «знаков» (при заданной надежности и количестве исследуемых пар n без нулевых значений) находят граничное значение критерия "знаков" Zrp — это интервал

Сумма отрицательных изменений – расчетное значения критерия «знаков» Zp По таблице границ критической области критерия «знаков» (при заданной надежности и количестве исследуемых пар n без нулевых значений) находят граничное значение критерия "знаков" Zrp — это интервал При попадании количества отрицательных изменений внутрь этого интервала наблюдается статистическая недостоверность между исследуемыми показателями в сравниваемых группах, в противоположном случае — статистическая достоверность различия.

Пример Сравнить достоверность различия результатов в прыжках в длину с места в группе в начале подготовительного периода хi (м) и в конце уi (м)

Решение: Подсчитываем количество положительных, отрицательных и нулевых значений: Z(+) = 9, Z(–) = 5, Z(0) = 3 Задаем уровень значимости р = 0,05 и находим расчетный объем n = n — Z(0) = 17 — 3 = 14 По таблице критерия «знаков» находим искомый интервал Zгp = 3...11

Вывод: Так как Z(–) = 5 находится внутри этого интервала, то различие между показателями статистически недостоверно. Это значит, что параметр — прыжок в длину с места (м) не изменился в течение подготовительного периода во всей группе. Тренировочные занятия на развитие данного параметра должны быть интенсифицированы