Некоторые задачи эквивалентных преобразований. 1. Упрощение формул. Наряду

Некоторые задачи эквивалентных преобразований. 1. Упрощение формул. Наряду с основными соотношениями для упрощения формул часто используются следующие эквивалентные соотношения: а) б) • поглощение

2. Приведение к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ). Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций. Совершенная ДНФ – это ДНФ, каждая элементарная конъюнкция, которой включает в себя все переменные с отрицаниями или без.

Процедура приведения к ДНФ: 1. Все отрицания «спустить» до переменных. 2. Раскрыть скобки. 3. Удалить лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях. 4. Удалить константы. Процедура приведения ДНФ к СДНФ состоит в расщеплении (обратном склеивании) конъюнкций, которые содержат не все переменные.

3. Приведение к конъюнктивной нормальной форме. Элементарной дизъюнкцие й называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций. Пусть ДНФ F имеет вид , где — элементарные конъюнкции. Процедура приведения ДНФ к КНФ: 1. Применить к F правило двойного отрицания. 2. С помощью законов де Моргана освободиться от второго отрицания и преобразовать отрицание элементарных конъюнкций в элементарные дизъюнкции. •

Совершенной КНФ (СКНФ) называется КНФ, каждая элементарная дизъюнкция, которой содержит все переменные. 4. Двойственность. Функция называется двойственной к функции , если = . Функция, двойственная к самой себе, называется самодвойственной. Принцип двойственности : если в формуле F, представляющей функцию f , все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных функций, то полученная формула F * будет представлять функцию f * , двойственную f. •

Принцип двойственности в булевой алгебре : если в формуле F , представляющей функцию f, все конъюнкции заменить на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 1 на 0, 0 на 1, получим формулу F * , представляющую функцию f * , двойственную f. Справедливо утверждение: если функции равны, т. е. f 1 = f 2 , то и двойственные им функции равны, т. е. f 1 * = f 2 *

4. 6 Булева алгебра и теория множеств. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре множеств. • Ассоциативность пересечения и объединения: а) б) • Коммутативность пресечения и объединения: а) б) •

• Дистрибутивность пересечения относительно объединения: • Дистрибутивность объединения относительно пересечения: • Идемпотентности: а) б) • Закон двойного отрицания: •

• Свойства универсального U и пустого множества: а) в) д) б) г) е) • Законы де Моргана: а) б) • Закон противоречия: • Закон исключенного третьего: •