на тему: Наближення дійсних чисел раціональними.

на тему: Наближення дійсних чисел раціональними. СХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ Факультет інформаційних систем, фізики та математики Кафедра алгебри та математичного аналізу ШОЛОМІЦЬКА МАРИНА ПЕТРІВНА Магістерська робота Науковий керівник : ФІЛОЗОФ ЛЕОНТІЙ ІВАНОВИЧ кандидат фізико-математичних наук , доцент ЛУЦЬК

Христіан Гюйгенс (1629 -1695) голландський механік, фізик та математик В i н широко застосовував ланцюгові дроби. Саме при будуванні планетарія Гюйгенсу треба було, щоб відношення обертів зчеплених між собою зубчастих коліс виражались дробами заданими і притому великими чисельниками і знаменниками. Через те, що точне здійснення цієї умови потребувало б нездійсненного в конструкції великого числа зубців, то виникла проблема про заміну таких незручних відношень якомога точнішими відношеннями менших чисел. Ця задача саме і розв’язується з допомогою розкладу у ланцюговий дріб і утворення підхідних дробів і дуже зв’язних з ними так званих проміжних дробів типу: . , . . . , 2, 11 12 12 k kk kk qk l. QQ l. PP

Одним з основних способів одержання раціональних наближень є метод ланцюгових дробів. Процес розкладання деяких дійсних чисел окремого виду вперше зустрічається в італійського математика Бомбеллі в його «Алгебрі» в 1572 році. А сучасні позначення вперше в 1613 році в італійського математика Катальді (1548 -1616). Першим звернув увагу на застосування ланцюгових дробів англійський математик Броункер (1620 -1684). Він подав у вигляді ланцюгового дробу дійсне валісове число У Валліса вперше з’явився і сам термін «ланцюгові дроби» . Теорію ланцюгових дробів систематизували Ейлер , а потім Лангранж. Зокрема останньому належить спосіб наближеного обчислення коренів алгебраїчних рівнянь за допомогою ланцюгових дробів.

Об’єктом дослідження є підхідні дроби та їх застосування. Предметом дослідження є висвітлення прийомів та методів доведення підхідних дробів. Метою дослідження є теорія ланцюгових дробів.

Для досягнення мети було поставлено наступні завдання : опрацювати наукову, навчальну та методичну літературу; зробити огляд літератури; дослідити та узагальнити зв’язок алгоритму Евкліда з ланцюговими дробами; розкрити властивості підхідних дробів; розглянути збіжність ірраціональних чисел з нескінченними ланцюговими дробами; дослідити квадратичні ірраціональності і періодичні ланцюгові дроби; проаналізувати поле алгебраїчних чисел; зробити висновки про роль досліджуваної проблеми у математичній освіті.

СКІНЧЕННІ ЛАНЦЮГОВІ ДРОБИ § 1. Алгоритм Евкліда і ланцюгові дроби § 2. Зв’язок алгоритму Евкліда з ланцюговими дробами § 3. Основні властивості ланцюгових дробів

НЕСКІНЧЕННІ ЛАНЦЮГОВІ ДРОБИ § 1. Збіжність нескінченних ланцюгових дробів § 2. Подання ірраціональних чисел нескінченними ланцюговими дробами § 3. Порядок наближення ірраціональних чисел ланцюговими дробами § 4. Ланцюгові дроби як найкращі наближення § 5. Наближення ірраціонального числа раціональними дробами з заданим обмеженням для знаменника § 6. Квадратичні ірраціональності і періодичні ланцюгові дроби. Теорема Лагранжа

ПОЛЕ АЛГЕБРАЇЧНИХ ЧИСЕЛ § 1. Алгебраїчні числа § 2. Алгебраїчні числа

Комплексне або дійсне число називається алгебраїчним числом , якщо воно є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами. Будь-яке неалгебраїчне число називається трансцендентним. До алгебраїчних чисел належать усі раціональні числа як корені рівнянь першого степеня: з цілими (раціональними) коефіцієнтами, а також будь-який радикал виду , де є раціональне, як корінь двочленного рівняння: . Всяке раціональне число як корінь рівняння першого степеня не має спряжених чисел, відмінних від нього, і ця властивість є для раціональних чисел характерною. Всяке алгебраїчне число, яке не є раціональним, буде коренем незвідного многочлена (рівняння), степінь якого більший від одиниці, і тому для нього існують спряжені числа, відмінні від його самого. 0 abax naa 0 ax n

Усередині минулого століття було дано конструктивне доведення існування трансцендентних чисел. Теорема 1 (Ліувілля). Якщо дійсне — алгебраїчне число степеня , то для будь-якої пари цілих чисел i справедлива нерівність: , де C — додатна стала, яка не залежить від та . Теорема Ліувілля показує, що наближення будь-якого алгебраїчного числа обмежене зверху. За допомогою теореми Ліувілля можна довести існування трансцендентних чисел. Теорема Ліувілля була опублікована в 1844 році, а перший покращений її результат отриманий норвезьким математиком А. Ту т в 1908 -1909 роках – спочатку для чисел виду , а потім і для всіх алгебраїчних чисел. a 0 ba 2 n n b C b a a a b Nba b a n ,

Дякую за увагу!!!