МВХ Лекция № 5 Вычисление определенных интегралов Приближенное

МВХ Лекция № 5 Вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов R(f) - погрешность квадратурной формулы для данной функции

Точность вычисления Если R(f) = 0 квадратурная формула для данной функции называется точной. Кроме R(f) (погрешность метода) существует ошибка округления – точность с которой выполняются арифметические операции.

Формула прямоугольников (метод Эйлера) Заменим функцию (f) на отрезке [а, b] многочленом Лагранжа нулевой степени (прямая у=d) с узлом хо=а (или хо=b). Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь прямоугольника

Формула трапеций Заменим функцию (f) на отрезке [а, b] многочленом Лагранжа первой степени (прямой у=kx+d) с узлами хо=а, х1= b. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции

Квадратурная формула (трапеции) Из геометрических соображений формулу трапеций

Погрешность квадратурной формулы Разложим f(х) по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых по ходу рассуждений непрерывных производных:

Главный член погрешности где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Вывод: точность квадратурной формулы возрастает при уменьшении интервала интегрирования, но более заманчива перспектива получения точной квадратурной формулы за счет повышения уровня метода

Обобщенная формула прямоугольников Для повышения точности на отрезке [a, b] вводят достаточно густую сетку Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу применяют формулу прямоугольников. Получают обобщенную формулу:

Обобщенная формула трапеции Для повышения точности на отрезке [a, b] вводят достаточно густую сетку Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу применяют формулу. Получают обобщенную формулу трапеций:

На равномерной сетке она упрощается:

Формула Симпсона Вычислим интеграл на интервале [0 2h] по формуле трапеций сначала на равномерной сетке с шагом h, а затем на сетке с вдвое более крупным шагом

Обобщенная формула Симпсона Обобщенная формула Симпсона для равномерной сетки и четного числа шагов N имеет вид:

Точность формулы формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов (если четвертая производная функции не слишком велика)

Пример Программа вычисления определённого интеграла методом прямоугольников (f= 2х) a = 0; b = 1; w=1e-5; n = (b-a)/w; y = 2*a; for i=1:n-1 y=2*(a+i*w)+y;% end; y=y*w y = 0.99999

Пример в общем виде Программа вычисления определённого интеграла методом прямоугольников (f=любая) deff('[y]=f(x)','y=2*x') a = 0 b = 1 w=1e-5 n = (b-a)/w y = f(a) for i=1:n-1 y=f(a+i*w)+y; end; y=y*w

Метод трапеции deff('[y]=f(x)','y=2*x') a = 0 b = 1 w=1e-1 n = (b-a)/w y = (f(a)+f(b))/2 for i=1:n-1 y=f(a+i*w)+y; end; y=y*w y = 1.

Метод Симпсона deff('y=fur (x)','y=x*x-sin(x)') a=0; b=1; integrate(‘fur’,’ x’, a, b) ans = - 0.1263644 function f = fur(x); f= x*x-sin(x); endfunction integrate(‘x*x-sin(x)’,’ x’, 0, 1) ans = - 0.1263644

Вычисление погрешности function y=f(t), y=t^2/sqrt(3+sin(t)); endfunction; [I,er]=intg(0,1,f) er = 1.933D-15 I = 0.1741192