Многомерное нормальное распределение Зубарева Мария
Одномерное нормальное распределение Случайная величина имеет нормальное (гауссовское ) распределение с параметрами и , т. е. , если Функция распределения:
Одномерное нормальное распределение Рис. 1 Примеры плотностей нормального распределения
Многомерное нормальное распределение Говорят, что n-мерная случайная величина имеет нормальное распределение где - определитель положительно определенной матрицы ; , если
Многомерное нормальное распределение Замечание: Вектор, составленный из нормальных случайных величин, не обязательно имеет многомерное нормальное распределение.
Многомерное нормальное распределение Рис. 2 Пример плотности двумерного нормального распределения
Свойства нормального распределения N(μ; Σ) 1. , ковариационная матрица случайного вектора Х равна. 2. Так как матрица невырожденная, то каждая компонента вектора распределена нормально. 3. Если , то , где - вектор размерности n , имеет распределение где
Свойства нормального распределения N(μ; Σ) 4. 5. Пусть где распределены нормально, а не все равны нулю. Тогда случайная величина распределена нормально. Если случайный вектор имеет нормальное распределение, а его компоненты попарно некоррелированы, то
Применение нормального распределения Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний Примеры нормального распределения: рост людей; агрегирующие экономические показатели; погрешности измерений. Нормальность распределения образуется вследствие того, что на итоговое значение влияет много разных величин, причем влияние каждой из них незначительно.
Многомерная центральная предельная теорема Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторов, каждый из которых имеет среднее и невырожденную матрицу ковариаций. Пусть тогда по распределению при
Критика применения нормального распределения Статистические модели и методы, основанные на нормальном распределении, часто применяются без элементарной проверки Во многих случаях распределение имеет ассиметрию (ненормальность) и/или «тяжелые хвосты» Доходности в некоторых случаях могут быть описаны распределением Парето, которое характеризуется бесконечной дисперсией
Критика применения нормального распределения Случаи экстремального поведения рынков происходят чаще, чем «допускается» статистически и, когда это случается, модели демонстрируют свою полную недееспособность Показатели большинства социальных, экономических и природных систем не подчиняются нормальному закону распределения. Следовательно, множество хорошо проработанных методов статистического анализа (коэффициент корреляции, матожидание, дисперсия) могут давать неправильные результаты.
Временные ряды и нормальное распределение Предположения: 1. 2. 3. 4. Совместное распределение случайных величин является нормальным распределением (необходимо для проверки статистических гипотез) Теорема Гаусса-Маркова: При 1 -4 оценки по методу наименьших квадратов являются наилучшими линейными несмещенными оценками.
Стохастическое дифференциальное уравнение и нормальное распределение Стохастическое дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой случайный процесс. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум Предполагается, что стохастический член имеет распределение, пропорциональное нормальному. В случае систем СДУ - пропорциональное многомерному нормальному.
Разложение Корниша-Фишера Асимптотическое разложение разности между соответствующими квантилями нормального распределения и какого-либо близкого к нему распределения по степеням малого параметра.
Примеры моделей с МНР Совместная факторная модель для рыночных и кредитных рисков. (Отчет «Interaction of market and credit risk an analysis of inter-risk correlation and risk aggregation» K. Bocker, M. Hillebrand) Концепция Value-at-Risk
Совместная факторная модель для рыночных и кредитных рисков Отчет Deutsche Bundesbank «Interaction of market and credit risk an analysis of inter-risk correlation and risk aggregation» K. Bocker, M. Hillebrand Исследуется взаимодействие кредитных и других типов рисков, которые могут рассматриваться как рыночный риск Рассматривается объединение линейной факторной модели для кредитных рисков с линейными факторными моделями для рыночных рисков
Концепция Value-at-Risk Квантиль рассматривается как мера риска Value-at-Risk – это мера максимального потенциального изменения стоимости портфеля финансовых инструментов с определённой вероятностью на заданном временном горизонте Для того чтобы описать риск, используя меру Va. R, необходимо сначала задать вероятность (или доверительный интервал) и временной горизонт.
Концепция Value-at-Risk Предполагается, что доходности финансового инструмента распределены нормально. Что позволяет вычислять Va. R для заданного доверительного интервала Например, для нормированных доходностей с найденным значением среднеквадратического отклонения, при доверительном уровне 95%, Va. R вычисляется как 1, 65σ.
Литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Кибзун А. И. , Горяинова Е. Р. , Наумов А. В. , Сиротин А. Н. ТВи. МС. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. Вадзинский P. H. Справочник по вероятностным распределениям. Наука, 2001. Жданов В. Ю. Крах линейной парадигмы анализа фондового рынка. http: //beintrend. ru/2010 -11 -01 -15 -53 -37 Леваков А. А. Стохастические дифференциальные уравнения. Минск: БГУ, 2009. Bocker K. , Hillebrand M. Interaction of market and credit risk an analysis of inter-risk correlation and risk aggregation. Discussion Paper. Series 2: Banking and Financial Studies. No. 11/2008 Risk. Metrics Technical Document – JPMorgan, 4 th edition, December, 1996 Агаев И. А. , Куперин Ю. А. Развитие методов Va. R для оценки рисков на финансовых рынках. Региональная экономика и управление: электронный научный журнал. 4/2006.
Скачать презентацию Многомерное нормальное распределение Зубарева Мария Одномерное нормальное
Многомерное нормальное распределение1.ppt