Механика движения жидкости. Вязкость жидкости. Ламинарное и турбулентное движение. Гидравлическое сопротивление. Распределение давления в трубах переменного сечения.
Жидкость оказывает давление на поверхность твердых тел, погруженных в нее или ограничивающих ее объем. Вследствие легкого перемещения молекул жидкости, давление в нее передается равномерно во все стороны (закон Паскаля). Поэтому силы давления распределены на все поверхности соприкосновения жидкости и твердого тела и направлены к ней перпендикулярно.
Давление в жидкости обусловлено действием внешних сил на нее (атмосферного давления или тяжести столба самой жидкости, давлении стенки сосуда, если она - эластичная). Вследствие того, что между молекулами жидкости существуют большие силы отталкивания, даже небольшое сжатие жидкости внешними силами вызывает в ней значительные силы упругого противодействия, которые и создают давление.
Жидкость, находящаяся под давлением, обладает внутренней потенциальной энергией, величина которой равна: Ер = р. V Если объем жидкости V перемещается из пространства с давлением Р 1 в пространство с давлением Р 2 , то при этом совершается работа: А = V (Р 1 – Р 2)
Закон Бернулли. Статическое и динамическое давление 1) Определение идеальной жидкости. 2) Рассмотрим течение идеальной жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение жидкости называется, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество жидкости (объем). При этом скорость движения на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечения.
Действительно, объем V жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, равен: V=Sυ, так как этот объем постоянен для любого сечения трубы, то Sυ=const
Если обозначить сечение и скорость движения на участках 1 и 2 соответственно S 1 , υ1 и S 2 , υ2 , то согласно сказанному выше S 1 υ1 = S 2 υ2. Как видно из рисунка 1, можно сделать вывод, что чем меньше сечение трубы, тем выше скорость жидкости, протекающей через это сечение. Рис. 1
Рассмотрим движение идеальной жидкости небольшой массы V по трубе переменного сечения (рис. 2). B ( • ) A жидкость находилась под давлением р1 и имела скорость υ1 и была на высоте h 1 над некоторым начальным уровнем (с. Д). B ( • ) В эти величины имеют значения υ2 , р2 , h 2. При перемещении совершается работа силами давления (работа равна изменению потенциала энергии объема жидкости).
Ар =( р1 – р2 )V , где совершается работа силами давления Рис. 2 и силами тяжести: Аh = mgh 1 – mgh 2.
Сумма этих работ Ар+Аh должна соответствовать изменении кинетической энергии. Откуда: р1 V + mgh 1 + mυ12//2 = p 2 V + mgh 2 + mυ22/ 2 Левая и правая часть этого уравнения соответствует полной энергии в двух точках. Она постоянна во всех точках потока жидкости, так как точки 1 и 2 взяты произвольно, внешнего воздействия на жидкость, кроме давления и силы тяжести , нет. Объем жидкости принят малым и постоянным.
Вывод: полная энергия частиц, движущейся непрерывной струи невязкой жидкости есть величина постоянная. Поделив это уравнение на объем и учитывая, что отношение массы жидкости к объему равно плотности жидкости: m/ V = ρ , получим: р + ρgh + ρυ2/2 = const, где: ρgh – гидростатическое давление; р - статическое давление; ρυ2/2 – динамическое давление.
Представленное выражение носит название – уравнение Бернулли. С учетом того, что гидростатическое давление изменяется мало, уравнение Бернулли может быть представлено следующим образом: р + ρυ2/2 = const. Из уравнения следует, что давление невязкой жидкости, текущей по трубе, повышается там, где скорость понижается и наоборот – правило Бернулли.
В реальной жидкости на ее движение оказывает влияние свойство жидкости – вязкость. Вязкость связана с возникновением трения между слоями жидкости. Слои двигаются с разными скоростями и в результате молекулярного взаимодействия между соседними слоями возникает трение. Исаак Ньютон определи зависимость силы трения от градиента скорости и площади слоев. Ньютон рассматривал движение жидкости на участке плоского дна. На рисунке 3 показаны Рис. 3 отдельные слои, которые двигаются с разными скоростями.
Рис. 3
Слои выбраны произвольно, они отражают реальную картину движения вязкой жидкости. Тонкий слой , соприкасающийся с дном, неподвижен. По мере удаления от дна скорость слоев увеличивается (υ4>υ3>υ2>υ1). Слои воздействуют друг на друга – верхний слой – ускоряя, а нижний – замедляя соседние слои. Сила внутреннего трения пропорциональна площади слоев и увеличивается с ростом скорости. Ньютон вывел уравнение для силы внутреннего трения: Fтр. = η (dν/dx)S
где η – коэффициент пропорциональности, который носит название коэффициента динамической вязкости. Измеряется в Па*с или Нс/м 2. Здесь: Па ( Паскаль )– единица давления, Н ( Ньютон ) – единица силы, S – площадь слоев, – градиент скорости по оси х. Градиент скорости характеризует изменение скорости по глубине жидкости (вдоль оси х). Градиент скорости характеризует быстроту изменения скорости в направлении, перпендикулярно движению (так как введение слоев условно).
Большинство жидкостей подчиняются закону Ньютона. Их коэффициент вязкости зависит от природы жидкости и температуры (вязкость падает с ростом температуры). Такие жидкости называют ньютоновскими. У некоторых жидкостей коэффициент вязкости зависит так же от давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость снижается, так как изменяется внутренняя структура молекул. Такие жидкости называются неньютоновскими.
Течение вязкой жидкости по трубам небольшого диаметра. Описывается экспериментальными результатами французского физика Пуазейля. Объемная скорость движения (Q ) – объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за 1 сек. Q = πR 4( P 1– P 2 ) / 8ηL – Здесь : R – радиус сосуда, P 1– давление в начале трубы, P 2 – давление в конце трубы, L – длина трубы, η – вязкость жидкости. Средняя линейная скорость жидкости равна : νcp= Q/ πR 2 = R 2 ( P 1 – P 2 ) / 8 ηL.
Французский теоретик Гаген продолжил работу экспериментатора Пуазейла и вывел формулу, описывающую распределение скорости движения жидкости в цилиндрическом сосуде. Эта формула определяет скорость течения жидкости в зависимости от расстояния до центральной оси цилиндрического сосуда. Это расстояние Гаген обозначил буквой r. Формула, определяющая скорость υ ( r ), имеет вид: ν( r ) = ( R 2 – r 2 ) ( P 1 – P 2 ) / 4ηL
На рисунке 4 показано распределение скорости движения жидкости по цилиндрическому сосуду. График зависимости ν( r ) имеет вид параболы. Максимальное значение скорости совпадает с центральной осью сосуда, минимальное Рис. 4 значение скорости совпадает с внутренней поверхностью сосуда, где движение скорости равно нулю.
Там, где скорость движения жидкости минимальная – максимальное статическое давление (у стенок трубы), а там где максимальная скорость – минимальное давление (в центре трубы). Это приводит к тому, что при движении неоднородной жидкости , она расслаивается. К таким жидкостям относится кровь. При её движении по сосуду в пристеночных слоях движется плазма крови, обеднённая форменными элементами, а по центру сосуда, в плазме, движется большая часть форменных элементов.
Формулу Пуазейля для объемной скорости можно переписать, с учетом того, что разность давлений в сосуде равна: P 1 – P 2 = ΔP – падение давления в сосуде. Из формулы Пуазейля можно вывести, что падение давления в сосуде равно: ΔP = Rгем Q , где R – сопротивление движению жидкости в сосуде. Rг =8ηL/πR 4 – при движений жидкости сопротивление называется гидравлическим, а при движении крови по сосудам – гемодинамическим. Как видно из формулы сопротивления, оно зависит прежде всего от изменения радиуса сосудов.
Ламинарное и турбулентное движения жидкостей. Стационарное движение вязкой жидкости является слоистым или ламинарным течением. Для него справедливо правило Бернулли, формулы Пуазейля и Гагена –Пуазейля. При увеличении скорости движения вязкой жидкости образуются завихрения и движение становится нестационарным, вихревым или турбулентным. При турбулентном движении скорость частиц в каждом месте беспрерывно и хаотически меняется и движение становится не стационарным. Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости и определяется критерием Рейнольдса: Rе = ρжυD/η ρж – плотность жидкости; D – диаметр трубы; η – динамическая вязкость, υ –скорость движения жидкости.
Для определения характера движения жидкости критерий Рейнольдса сравнивается с его критическим значением. Последнее определяется экспериментально. Если Re> Reкр, то характер движения– турбулентный, если Re< Reкр, то характер движения – ламинарный. Характер движения зависит от двух факторов : роста скорости движения и диаметра сосуда. В медицине наиболее часто растет скорость движения крови, что может привести к возникновению турбулентности. Это резко увеличит сопротивление движению крови и может при вести к закупорке сосуда. Из критерия Рейнольдса видно, что кроме скорости, сильное влияние на турбулентность движение жидкости оказывает диаметр трубы. В трубах большого диаметра течение жидкости, даже при небольшой скорости, может стать турбулентным.
Скачать презентацию Механика движения жидкости Вязкость жидкости Ламинарное и турбулентное
Движение в жидкостях.ppt