Методы оптимизации 1 2 Вопросы Постановка задачи оптимизации

Методы оптимизации 1. 2. Вопросы Постановка задачи оптимизации Виды задач оптимизации

1 Постановка задачи оптимизации Методы оптимального планирования используются в различных подсистемах АСУ и являются необходимым средством для их эффективного функционирования. Задачи оптимального планирования можно разделить на задачи объемного (техникоэкономического) планирования и задачи календарного планирования.

n n n Первые – являются «внешними» по отношению к объекту планирования. Результатом решения таких задач является производственная программа, которая обеспечивает решение, оптимальное по какому-либо критерию. Здесь не учитывается специфика трудовых ресурсов, которые нельзя сохранять, если они не использованы. Вторые – являются внутренними по отношению к объекту планирования. Обязательными являются обеспечение технологической последовательности работ учет не складируемого характера трудовых ресурсов

Во всех сферах человеческой деятельности большое место занимает принятие решений. Для этого необходимо выполнить 2 условия: 1. Должно быть не менее 2 -х вариантов. 2. Определен принцип выбора варианта из числа возможных.

Существует два принципа выбора ВОЛЕВОЙ и КРИТЕРИАЛЬНЫЙ n Волевой выбор используется при отсутствии количественных мер оценки вариантов, он является единственно возможным. n Критериальный выбор заключается в том, что принимается некоторый критерий и сравниваются возможные варианты по этому критерию.

n n n Вариант, для которого принятый критерий является наилучшим, называется оптимальным, и решение – также называется оптимальным. Задача принятия наилучшего решения – задача оптимизации. Критерий оптимизации называют целевой функцией

2 Виды задач оптимизации n В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом: F=f(xj)→max (min); gi(xj)≤bi(i=1, m); dj≤xj≤Dj (j=1, n) (1) Система (1) представляет собой общий случай математической постановки задачи оптимизации. Она включает целевую функцию F, ограничения gi(xj)≤bi, и граничные условия dj≤xj≤Dj

n n Суть такой постановки заключается в следующем: необходимо определить такие значения xj, которые находясь в граничных условиях dj≤xj≤Dj удовлетворяли бы ограничениям gi(xj)≤bi и при этом придавали бы целевой функции F=f(xj) искомое оптимальное значение. В каждом конкретном случае система (1) определяется видом переменных xj и зависимостей f(xj) и gi(xj). Различные виды переменных и зависимостей между ними требуют различных методов решения задачи оптимизации.

В зависимости от классов математических описаний элементов системы могут быть следующие задачи: Элементы задачи Зависимости Алгебраические Дифференциальны е Переменные Детерминированные Случайные Линейные Непрерывные Нелинейные Дискретные

n n n Зависимости между переменными входят в ограничения и в целевую функцию. По виду действий над переменными зависимости могут быть алгебраическими и дифференциальными. Задачи, содержащие дифференциальные зависимости в функции времени, называются задачами оптимального управления или – динамической оптимизации.

n n n Линейными называются такие зависимости, в которых переменные или производные находятся в первой степени. Если в зависимостях имеются переменные в степени, отличной от первой, или произведения двух или более переменных, то такие зависимости наз. нелинейными. Задачи оптимизации, содержащие линейные алгебраические зависимости в целевой функции и ограничениях, являются задачами ЛП.

n Если в задаче оптимизации хотя бы одно ограничение или целевая функция представляют собой нелинейную зависимость, задача является задачей НЛП.

n n Переменные можно подразделить на непрерывные и дискретные, детерминированные и случайные. Если величины в заданном интервале граничных условий могут принимать любые промежуточные значения, они называются непрерывными. Примером непрерывных переменных может служить производительность, стоимость и т. д. Если переменные в заданном интервале могут принимать лишь определенные значения, они называются дискретными.

n n Важным видом дискретных переменных являются булевы переменные, они могут принимать только два значения 0 или 1. С помощью булевых переменных можно решать логические, комбинационные и ряд других специфических задач.

n Дискретные переменные могут быть целочисленными (принимают только целые значения), заданными (например, диаметр трубы должен соответствовать ГОСТУ и быть равным одному из заданных размеров: 100, 150, 200, 250 мм и т. д. )

n n Задачи оптимизации, в которых переменные могут быть только дискретными, называют задачами дискретного или целочисленного программирования (ЦП). Если в задаче часть переменных должна быть целочисленной, а остальные могут принимать непрерывные значения, то такая задача называется задачей частично-целочисленного программирования (ЧЦП).

n n Задачи оптимизации, в которые входят случайные величины, задачами стохастического программирования (СТП). Все рассмотренные классы задач относятся к задачам математического программирования.