Метод излучательности (Radiosity) : +7 (495) 763

Метод излучательности (Radiosity) : +7 (495) 763 -5239 Budak. VP@mpei. ru. Будак Владимир Павлович, НИУ «МЭИ» кафедра светотехники

Уравнение излучательности является уравнением Фредгольма II рода. Численный метод его решения основан на замене интеграла суммой. ( r , r )=0 ( r , r )=12 0 ( ) ( ) ( , )M M M F d r r r r r 42 ˆ ˆ( ), ( )cos ( , )F r N r r r r r 2 0( ) ( ) ( , )M M M k d r r r ( )ˆ r r l r r ˆN ˆNr r ( ) ( , )k F r r r r

Метод конечных элементов МКЭ (FEM) – дискретизация уравнения разложением по системе базисных функций и сведения его к решению СЛАУБорис Григорьевич Галёркин ( 20. 02. 1871, Полоцк – 12. 06. 1945, Ленинград ) – советский механик и математик, академик АН СССР (1935; член-корр. 1928), инженер-генерал-лейтенант Иван Григорьевич Бубнов ( 6. 01. 1872, Нижний Новгород – 13. 03. 1919, Петроград ) — российский корабельный инженер, математик и механик Вальтер Ритц (Walter Ritz, 22. 02. 1878, Сьон (Зиттен) – 7. 06. 1909, Гёттинген) – швейцарский физик-теоретик и математик. Окончил Цюрихский университет (1900). 1 ( ) ( ) N j j j M M M r r r% 2 0( ) ( ) ( , ) 0 R M M M k d r r r r% % 21, : ( , ) ( ) 0 i ii N R R d r r r 1 2 0 1 ((, ( ( , ) ( ) , )0), )j N iiij jj N j j k d r. MMM r r r 0 2 2, , ( ) ( , ) (( )))(: , , i ij ijii jk d r. AM r r. AM trr

Связь радиосити с МКЭ Метод излучательности есть специальный случай решения уравнения излучательности МКЭ – форм-фактор Другой подход к минимизации остаточного члена является метод коллокации : 1, , ( ) ( , ) 0, ; i i i j ij i при r r r 2 02 1 1 cos 1, : ( , ) i j N i i ji i N M M M d r S r r r 0 1 1, : N ij ij j i j i N A F A M M 2 2 1 cos ( , ) i j ij i F d r S r r r 1, : ( ) 0 ii N R r( )i j ij r

Итерационные методы решения задачи излучательности Сходимость метода можно ускорить, если выбирать последовательность элементов очередного шага итерации не произвольно, а тех, вычисления которых, в наибольшей степени уточняет решение. В задачах визуализации 3 М сцен количество граней превышает десятки тысяч, что делает обращение матрицы при решении СЛАУ математически некорректной задачей Находить решение простейшим методом итераций Якоби (Jacobi) – соответствует кратностям переотражений: Метод итераций Гаусса-Зейделя (Gauss-Seidel): 1 1 N N ii ij i ii j ij ij j j i j i A F F F A ( ) ( 1)0 1 N ijm mi i j jii iij i AM M M A A 1 ( ) ( 1)0 1 1 i N ij ijm m mi i j j iii ii ii A AM M A A A 0 1 N iji i j jii iij i AM M M

Итерация Саусвелла (Southwell) С физической точки зрения вектор ошибок представляет собой неизлученную часть света с каждой грани i = S i M i – полный поток лучистой энергии, уходящий с площадки i i = S i M 0 i – поток лучистой энергии, излученный с площадки i Поскольку на каждом шаге итераций изменяется только одно значение вектора ( k ) , то только один элемент вектора ( ( k +1) ( k ) ) отличен от нуля (допустим i ): : Ki ij ij ij i ji j S K A F S trr( 1) ( )1 N k k i i ij i ii K K ( ) ( ) 1 r ε K μ , Nk k i i ij j j r K tr rr ( 1) ( )rε Kμ r Kμ Kμ r K μ μk k k k t tr r r r r ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 1 1 k N N k k k i ij i ii i i j ii ii iir K K K ( 1) ( ) ( ) ( ) ji k k k j j ji i i j i ij K r r K

Общая схема метода излучательности Позволяет улучшить результат на каждом шаге итераций, определяя всенаправленный (ambient) источник излучения 1. Представление сцены в виде сетки граней с заданными фотометрическими характеристиками 2. Вычисление форм-факторов между всеми гранями сцены 3. Решение уравнения излучательности итерационным методом 4. Проецирование результатов на картинную плоскость с использованием алгоритмов закрашивания Решение после остановки на произвольном шаге итерации можно улучшить, если распределить оставшуюся нераспределенной световую энергию, используя представление о помещении как о фотометрическом шаре ( ) 01 1 , 11 N Nk i i i ave. N N avei ave i i i A r M E H

Адаптивные сети Иной путь – решение в несколько проходов оптимально в 3 прохода: грубый расчет, уточнение сетки, точно • Проблема визуализации методом излучательности – выбор размеров сетки • Время и точность решения накладывают противоречивые требования • Для равномерно освещенных поверхностей мелкая сетка не добавит точности • Сильно неравномерно освещенные грани (тень) нуждаются в мелком разбиении • Идеальным является крупное разбиение равномерно освещенных граней и мелкое в местах сильной неравномерности • Порочный круг : для хорошего решения задачи визуализации необходимо знать искомое распределение освещенности по сцене • Адаптивное разбиение — переразбиение поверхностей объекта при значительном градиенте облученности вершин грани A B C Dпорог среднее A BE E K K