Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Лекция 4

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Лекция

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: . . . . , . . . 2211 22222121 11212111 тnтnтт nn nn bхахаха

Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

mmптт п п bааа А. . .

Теорема Кронекера–Капелли Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. )()(Ar. Ar

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

Пример Исследовать систему линейных уравнений . 293822 , 132533 , 23422 , 1323 54321 ххххх

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Метод Гаусса Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули. , , 2211 mmaaa

Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

Установить совместность и решить систему . 343 , 3232 , 125 , 251132 4321 xxxx

Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

Прямой ход

Обратный ход Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно. Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

. 1 , 2 , 0 , 125 4 43 4321 x xx xxxx

Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим Таким образом, имеем решение системы. 14 x. 121. 333 xxx 13 x 1 4 x 20 x 12 x . 1, 1, 0, 24321 xxxx

Общее решение СЛАУ Лекция

Общее решение системы линейных уравнений Если ранг матрицы равен , то любой отличный от нуля минор порядка этой матрицы называется базисным. r r

Пример Решить систему уравнений . 32432 , 132 , 374 , 232 4321 432 431 4321 xxxx xxx xxxx

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к виду.

Система совместна. Запишем укороченную систему, полученную после преобразований: . 132 , 232 4321 xxxx

Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг ее матрицы меньше числа неизвестных. Выберем в преобразованной матрице базисный минор. Это Тогда неизвестные и будут базисными, а остальные — свободными. 2 1. 0 2 1 x 2 x

Свободные неизвестные перенесем в правую часть уравнений системы: . 312 , 322 4321 xxxx

Обозначим где и — это произвольные значения свободных неизвестных, т. е. любые числа. Тогда Отсюда находим все неизвестные. , , 2413 Cx. Cx 1 C 2 C . 312 , 322 2121 CCxx

Однородные системы

Однородные системы имеют вид . 0. . . , 0. . . 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa

Теорема о совместности однородной системы Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных: r< n.

При r < n система является неопределенной, т. е. имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное. Если m = n , т. е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, т. е. det А=0 , что следует из определения ранга матрицы.

Пример . 0192483 , 03254 , 04653 , 0342 4321 xхxx xxxx

Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем ее ранг.

r =2. . 0000 5610 3421 ~ 151830 5610 3421 ~

Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид. 0 10 21 . 56 , 342 4321 xxxx

Общее решение системы . 56 78 ), ( 2 1 21 21 21 c c cc cc cc. X

Фундаментальная система решений Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения. 1, 0. . . , 0. . . , 1, 0 , 0. . . , 1 321 321 n n n cccс

Матрицы-столбы, т. е. фундаментальную систему решений обозначают . Общее решение будет представлено в виде. . 2211 nn. ECECECX 1 2 , , . . . , n.

Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему решений. , Общее решение можно записать в виде 0 1 6 8 )0, 1(1 XE. 1 0 5 7 )1, 0(2 XE. ), (221121 ECECCCX