матрицы
Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде или , Числа т и п называются порядками матрицы. При этом говорят, что матрица А имеет размер m n. Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. В записи aij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j номер столбца. Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || aij|| , а иногда с разъяснением: А = || aij|| = ( aij), где (i = 1, 2, . . . , т, j=1, 2, . . . , n). Пример 1. 1.
Определение 2. Матрица размера 1 n, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой. Определение 3. Матрица размера m 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом. Определение 4. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Определение 5. Квадратной матрицей называется матрица, у которой m = n Для квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ. Побочной диагональю той же матрицы называ ется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Частные виды квадратных матриц • Диагональная матрица Определение 6. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю
• Единичная матрица Определение 7. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной • Треугольная матрица Определение 8. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю: Определение 9. Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.
Действия над матрицами • Транспонирование матрицы Определение 10. Матрица, полученная изданной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к А, обозначают АТ. Пример 2. 1. Для матрицы Найти транспонированную к ней матрицу АТ. Решение: По определению транспонированной к данной матрице А будет являться матрица .
Определение 11. Суммой двух матриц А=(аij)и В=(bij) одинакового размера называется матрица С=(сij) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т. е. сij=aij+bij. Обозначается сумма матриц А + В. Пример 2. 2. Даны матрицы , Найти матрицу А + В. Решение: Операция сложения определена только для матриц одинакового размера. .
Определение 12. Разностью двух матриц А=(аij)и В=(bij) одинакового размера называется матрица С=(сij)того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т. е. сij=aij - bij. Обозначается сумма матриц А - В. Пример 2. 3. Даны матрицы , Найти матрицу А - В. Решение: Операция разности определена только для матриц одинакового размера.
Определение 13. Произведением матрицы А=(аij) на число k называется матрица В=(bij) того же размера со следующими элементами: bij=k aij. Пример 2. 4. Дана матрица . Найти матрицу. А k, если k=2. Решение: .
О п р е д е л е н и е 9. Определение 14. Матрица -А=(-1) А называется противоположной матрице А. Пример 2. 5. Дана матрица , Найти матрицу, противоположную матрице А. Решение: По определению противоположной матрицей к данной матрице А будет являться матрица: .
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. А + В = В + А; А + (В + С) = (А + В) + С; А + 0 = А; А - А = 0; 1 × А = А; k× (А + В) = k. А + k. В; (k + l) × А = k. А + l. А; k × (l. А) = (kl) × А; (А + В)Т = АТ + ВТ где А, В и С - матрицы, k и l - числа.
Определение 15. Матрица А называется согласованной с матрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т. е. для согласованных матрица А имеет размер m×n , матрица. В имеет размер n×k. Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка. Определение 16. Произведением матрицы А=(аij) размерности m n на матрицу B=(bij) размерности т k называется матрица C=(cij) размерности m k такая что: cik=ai 1 b 1 k+ai 2 b 2 k+ +ain bnk, где i=1, 2, 3, . . . , m, k=1, 2, 3, . . . , p, т. е элемент i ой строки и k го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i ой строки матрицы A на соответствующие элементы k го столбца матрицы B. Пример 2. 6. Дана матрицы , . Найти матрицу. А B. . Операция произведения определена только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Свойства умножения матриц Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. А × (В × С) = (А × В) × С; А × (В + С) = АВ + АС; (А + В) × С = АС + ВС; k × (АВ) = (k. А) × В; А × 0 = 0; 0 × А = 0; (АВ)Т = ВТАТ; (АВС)Т = СТВТАТ где А, В и С - матрицы, k и l - числа. Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения.
Скачать презентацию матрицы Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица
матрицы.ppt