Матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Если

Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Если матрица содержит строк и столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность — порядок матрицыnm mnm

mnmmm nn aaaa. . .

• Обозначение матриц nm ij a. А

Матрица размера m m называется квадратной. Матрица , имеющая только одну строку называется матрицей-строкой. Матрица, имеющая только один столбец называется матрицей-столбцом.

Две матрицы считаются равными , если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной) , если определитель её равен нулю.

Квадратная матрица вида наз. единичной и обозначается Е 1. . . 00. . . 10 0. . .

• Матрица, все элементы которой равны нулю, наз. нулевой. • Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, наз. определителем матрицы. Очевидно 1 Е

• Матрица наз. транспонированной по отношению к матрице 332313 322212 312111 aaa aaa A T 333231 232221 131211 aaa aaa

Действия над матрицами. Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B с одинаковыми индексами.

Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на .

Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С= A+(-B).

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой , стоящий в i -ой строке и j -ом столбце, равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A и соответствующих элементов j -го столбца матрицы B. )(ija. A nm )(ijb. B kn )(ijc. C kmij c

Свойства операций над матрицами

1. A+B = B+A 2. (A+B)+C = A+(B+C) 3. k(A+B) = k. A+k В 4. АВ ≠ВА

5. (AB)C = A(BC) 6. A(B+C) = AB+AC 7. A+O = A 8. AE=EA=

• Если и две квадратные матрицы одного порядка, то

Обратная матрица

Пусть — квадратная матрица. Обратной для неё матрицей наз. квадратная матрица того же порядка, обозначаемая и удовлетворяющая условию.

• Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

332313 322212 312111 11 ААА ААА ААА А

Р а н г м а т р и ц ы Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы. Ранг матрицы A обозначается: или . Arang

Теорема о ранге матрицы Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых строк матрицы.

Элементарные преобразования матрицы. 1. Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное 0. 2. Перестановка строк местами. 3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число. ijc

4. Отбрасывание одной из двух одинаковых строк. 5. Отбрасывание нулевой строки

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований наз. эквивалентными (~).

16101 2131 5312 A ~

16101 5312 2131(-2) (-1) + + ~

1570 2131 + ~

0000 1570 2131 2)(Ar

44165 31343 23532 A 3 (-2) + 5 (-2)

2232730 07910 23532(-3) +~ ~

22000 07910 23532 3)(Ar