Скачать презентацию МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ ВИЩА МАТЕМАТИКА ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ Скачать презентацию МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ ВИЩА МАТЕМАТИКА ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ

МАТЕМАТИКА.ppt

  • Количество слайдов: 34

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ВИЩА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ВИЩА МАТЕМАТИКА

ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ФУНКЦІЇ 1. Границя послідовності 2. Границя функції 3. Розкриття невизначеностей ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ФУНКЦІЇ 1. Границя послідовності 2. Границя функції 3. Розкриття невизначеностей 4. Перша визначна границя 5. Друга визначна границя Лекція доктора фіз. -мат. наук, професора ЩЕТІНІНОЇ О. К.

1. Границя послідовності Першу спробу створити теорію границь зробив І. Ньютон у 1686 р. 1. Границя послідовності Першу спробу створити теорію границь зробив І. Ньютон у 1686 р. , хоча операція граничного переходу застосовувалася і раніше, починаючи із старогрецьких учених. Близьке до сучасного поняття границі сформулював у 1765 р. французький математик і філософ Ж. Даламбер. Числовою послідовністю називають множину значень функції , яку визначено на множині натуральних чисел. х1, х2, … члени (елементи) послідовності хn загальний член послідовності n номер члена послідовності

Число а називають границею послідовності {хn}, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно Число а називають границею послідовності {хn}, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно малого) числа знайдеться такий номер що для всіх буде виконуватися нерівність Геометрична інтерпретація границі послідовності

Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю. Якщо послідовність границі не має, то її Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю. Якщо послідовність границі не має, то її називають розбіжною.

2. Границя функції Число А називають границею функції при х, що прямує до a, 2. Границя функції Число А називають границею функції при х, що прямує до a, якщо для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти таке число що як тільки , то виконується нерівність

Геометрична інтерпретація границі функції Геометрична інтерпретація границі функції

Функцію називають нескінченно малою при х а, якщо Функцію називають нескінченно великою при х Функцію називають нескінченно малою при х а, якщо Функцію називають нескінченно великою при х а, якщо для будь-якого можна знайти таке число що як тільки , то виконується нерівність Число А називають границею функції при якщо для будь-якого можна знайти число таке, що при , виконується нерівність

Основні теореми про границі Теорема 1 ознака єдиності границі Якщо функція має границю , Основні теореми про границі Теорема 1 ознака єдиності границі Якщо функція має границю , то ця границя є єдиною. Теорема 2 Границя алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь кожної з функцій за умови, що їх границі існують

Теорема 3 Границя добутку скінченого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій за умови, Теорема 3 Границя добутку скінченого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій за умови, що їх границі існують Теорема 4 Постійну величину можна винести за знак границі

Теорема 5 Границя відношення двох функцій і дорівнює відношенню границь цих функцій, за умови, Теорема 5 Границя відношення двох функцій і дорівнює відношенню границь цих функцій, за умови, що їх границі існують і Теорема 6 Якщо то границя складної функції дорівнює

Теорема 7 Якщо в будь-якому околі точки a виконується нерівність , то за умови, Теорема 7 Якщо в будь-якому околі точки a виконується нерівність , то за умови, що ці границі існують. Теорема 8 ознака існування границі функції Якщо в деякому околі точки а для трьох функцій виконується нерівність і то

Приклад. Для визначення границі функції потрібно підставити замість аргументу його границю. Приклад. Для визначення границі функції потрібно підставити замість аргументу його границю.

Однобічні границі функції Лівобічною границею функції f (x) при х а називають число А, Однобічні границі функції Лівобічною границею функції f (x) при х а називають число А, якщо для будь-якого можна знайти таке що як тільки то виконується нерівність Правобічною границею функції f (x) при х а називають число А, якщо для будь-якого можна знайти таке що як тільки то виконується нерівність

Функція має границю при х а , якщо існують її однобічні границі в цій Функція має границю при х а , якщо існують її однобічні границі в цій точці і вони співпадають Приклад.

3. Розкриття невизначеностей Часто зустрічаються випадки, коли підстановка границі аргументу призводить до невизначеної ситуації 3. Розкриття невизначеностей Часто зустрічаються випадки, коли підстановка границі аргументу призводить до невизначеної ситуації невизначеності. Знаходження границі невизначеності називають її розкриттям. Невизначеність , яку задано відношенням двох багаточленів, розкривають діленням чисельника і знаменника на найбільший степінь аргументу.

Правило розкриття невизначеності якщо старший степінь чисельника більше старшого степеня знаменника, то границя відношення Правило розкриття невизначеності якщо старший степінь чисельника більше старшого степеня знаменника, то границя відношення дорівнює нескінченності; якщо старший степінь чисельника дорівнює старшому степеню знаменника, то границя відношення дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях многочленів; якщо старший степінь чисельника менше старшого степеня знаменника, границя відношення дорівнює нулю.

Невизначеність при х а у випадку відношення багаточленів, розкривають шляхом виділення у чисельнику і Невизначеність при х а у випадку відношення багаточленів, розкривають шляхом виділення у чисельнику і знаменнику критичного множника (х а) і скороченням на нього.

Невизначеність , коли в чисельнику або знаменнику дробу (або і в чисельнику, і в Невизначеність , коли в чисельнику або знаменнику дробу (або і в чисельнику, і в знаменнику) є ірраціональності, спряжений множник. розкривають множенням на

Невизначеність розкривають приведенням до спільного знаменника дробів або позбавленням від ірраціональності в чисельнику. Невизначеність розкривають приведенням до спільного знаменника дробів або позбавленням від ірраціональності в чисельнику.

4. Перша визначна границя При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу першої визначної 4. Перша визначна границя При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу першої визначної границі Її застосовують для розкриття невизначеності у разі, коли вираз, що стоїть під знаком границі, містить тригонометричні функції.

5. Друга визначна границя Співвідношення називають другою визначною границею Константа Ейлера є числом ірраціональним. 5. Друга визначна границя Співвідношення називають другою визначною границею Константа Ейлера є числом ірраціональним. Другу визначну границю застосовують при розкритті невизначеності .

Як самостійні, можна запам’ятати формули Як самостійні, можна запам’ятати формули

Застосування границь в економіці Границі є математичним інструментарієм в економіці і фінансовому аналізі. В Застосування границь в економіці Границі є математичним інструментарієм в економіці і фінансовому аналізі. В основу аналізу деяких економічних факторів покладено методику відсоткових обчислень. Використання цих методів широко поширене в фінансовому та інвестиційному аналізі при розрахунках відсотків за кредитами та цінними паперами, в задачах про зростання банківського вкладу, при справлянні податків. В залежності від умов проведення фінансових операцій (розміру вкладу та терміну його розміщення), як нарощення, так і дисконтування, можуть здійснюватися із застосуванням простих, складних або неперервних відсотків.

Приклад. Темп інфляції складає 1% на добу. Наскільки зменшиться певна вихідна сума через півроку? Приклад. Темп інфляції складає 1% на добу. Наскільки зменшиться певна вихідна сума через півроку? Розв’язання. За формулою складних відсотків P – первинна сума i – ставка відсотків (у вигляді десяткового дробу) S – сума, що утворилася до кінця терміну позики в кінці n-го року m – число періодів нарахування на рік отримаємо 182 – кількість днів (півроку)

Після перетворень отримаємо інфляція зменшить вихідну суму приблизно в 6 разів. Після перетворень отримаємо інфляція зменшить вихідну суму приблизно в 6 разів.

Приклад. Дослідити поведінку функції попиту при зростанні ціни товару (х). Розв’язання. Знайдемо границю при Приклад. Дослідити поведінку функції попиту при зростанні ціни товару (х). Розв’язання. Знайдемо границю при прямуванні ціни товару до нескінченності: попит наближається до нуля при необмеженому зростанні цін.

Приклад. Дослідити характер зміни рівня споживання (у) в залежності від рівня доходів (х), якщо Приклад. Дослідити характер зміни рівня споживання (у) в залежності від рівня доходів (х), якщо Розв’язання. Знайдемо граничний ефект зі зростанням доходів рівень споживання стабілізується.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ ! ! ! ДЯКУЮ ЗА УВАГУ ! ! !