Математика Часть 1 УГТУ-УПИ 2006 г. Лекция 6

Математика Часть 1 УГТУ-УПИ 2006 г.

Лекция 6 3. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. 4. Дифференциалы высших порядков. 5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. 2. Дифференциал функции. 1. Производные высших порядков.

Производной второго порядка от функци называется производная от её первой производной. Производные высших порядков. Обозначение:

Производной -го порядка называется производная первого порядка от производной -го порядка: Обозначение:

Механический смысл второй производной.

Дифференциал функции.

Дифференциал - главная (линейная по ) часть приращения функции .

Дифференциал независимой переменной . Для функции y = x : dy = dx = x = 1 = , а значит дифференциал dx совпадает с приращением:

С учётом этого дифференциал любой функции можно записать в виде: Следовательно, если аргумент функции является независимой переменной, её производную можно представить в виде отношения дифференциалов:

Геометрический смысл дифференциала . T y = f(x) x y y N M M x+x

Свойства дифференциалов:

Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала.

Формулы для дифференциалов высших порядков: (Если x – независимая переменная, то dx от x не зависит и dx можно вынести за знак производной ).

Точно также вычисляется дифференциал n-го порядка (если x – независимая переменная) :

Основные теоремы о дифференцируемых функциях. I. Теорема Ролля (о нуле производной)

Геометрический смысл. a b c (касательная параллельна оси ОХ)

II. Теорема Лагранжа .

Геометрический смысл. (касательная параллельна прямой AB).

III. Теорема Коши.

Тогда:

Замечание. Если (x) = x , - формула Коши переходит в формулу Лагранжа. Формулы Лагранжа и Ролля - частные случаи формулы Коши.

IV. Правило Лопиталя.