МАТЕМАТИКА 3 Теория вероятностей и математическая статистика Ст

МАТЕМАТИКА 3 Теория вероятностей и математическая статистика Ст. преподаватель Минашкина Вера Геннадиевна 1

Основная литература Красс М. С. , Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов» , СПб. , Питер, 2007 Дополнительная литература Гмурман В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» , М. , Высшая школа, 1998 2

1. 1. Основные понятия теории вероятностей Случайное относительно некоторого комплекса условий S событие – это событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий S может либо произойти, либо не произойти. В теории вероятностей комплекс условий S называется испытанием. Замечание: Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями. В то же время она не может предсказать, произойдет ли единичное событие или нет. Предмет изучения теории вероятностей – это вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. 3

Факториал 4

Перестановки – это комбинации, состоящие из одной и той же совокупности n различных элементов Пример. 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 3 2 1 5

Размещения – это комбинации из m элементов, составленные из n различных элементов (m

Сочетания – это комбинации из m элементов, составленные из n различных элементов (m

Виды случайных событий Случайные события называются несовместимыми, если в одном и том же испытании наступление одного события исключает появление других. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. 8

Понятие вероятности случайного события Элементарное событие (исход) – это каждый из возможных результатов испытания. Благоприятные события – это элементарные исходы, интересующие нас. Вероятность Р(А) события А – это отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместимых элементарных исходов, образующих полную группу. 9

Пример вычисления вероятности события Пример. В коробке находятся 10 шаров: 6 белых, 4 черных. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад шаров будет 4 белых. Число благоприятных исходов Общее число исходов Искомая вероятность 10

Свойства вероятностей Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Свойство 3. Вероятность положительное число 0

1. 2. Умножение вероятностей Произведение двух событий А и В – это событие АВ, означающее одновременное наступление этих событий. Аналогично определяется произведение нескольких событий. Если при вычислении вероятности некоторого события никаких других ограничений, кроме комплекса условий S, не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же, кроме комплекса условий S, налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной. Замечание: Вероятность события В в предположении о наступлении события А называется условной вероятностью РА(В). 12

Вероятность произведения событий Теорема 1. Вероятность произведения двух событий равна Теорема 2. Имеет место равенство Замечание: Теорема 1 может быть обобщена на случай произведения любого числа событий А 1, А 2, А 3, …, Аn 13

Пример вычисления вероятности произведения событий В ящике находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз – красный шар (событие В), в третий раз синий шар (событие С). Вероятность события А Условная вероятность события В Условная вероятность события С Искомая вероятность 14

Независимые события Событие В называется не зависимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (то есть появление события В не влияет на вероятность события А) Теорема умножения вероятностей для независимых событий 15

Пример вычисления вероятности произведения независимых событий Найти вероятность одновременного поражения цели при стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели отдельными орудиями (события А, В, С) равны соответственно 0. 9, 0. 8 и 07. 16

Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий Теорема 1. Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий определяется по формуле где qi=1 -pi – вероятности соответствующих противоположных событий Теорема 2. Если все независимые события Ai имеют одинаковую вероятность р, то вероятность наступления хотя бы одного события равна 17

Пример вычисления вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой машины в исправном состоянии равна 0. 8. Найти вероятность того, что в перевозке участвует хотя бы один автомобиль. 18

1. 3. Обобщение умножения и сложения вероятностей События А и В называются совместимыми, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого. Сумма двух событий А и В – это событие С=А+В, заключающееся в появлении либо события А, либо события В, либо событий А и В одновременно. Замечание: Аналогично определяется сумма нескольких состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий, 19

Теорема о вероятности суммы совместимых событий Вероятность суммы совместимых событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения 20

Частные случаи Вероятность суммы независимых событий Вероятность суммы несовместимых событий 21

Пример вычисления вероятности суммы независимых событий Найти вероятность поражения цели хотя бы одним орудием при стрельбе двумя орудиями, если вероятности поражения цели отдельными орудиями (события А и В) равны соответственно 0. 9 и 0. 8. 22

Вероятность суммы полной группы независимых событий А 1, А 2, А 3, … Аn Вероятность суммы полной группы независимых событий равна единице ВЫВОД: Сумма полной достоверным событием. группы независимых событий является 23

Формула полной вероятности Теорема. Пусть события B 1, B 2, …, Bn несовместимы и образуют полную группу. Пусть также событие А может наступить при условии появления одного из событий Bi, причем известны как вероятности Р(Bi), так и условные вероятности РВ(Аi) (i=1, 2, 3, …, n). Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления события А 24

Пример расчета полной вероятности В двух ящиках находятся белые и красные шары: в первом – 4 белых и 5 красных, во втором – 7 белых и 3 красных. Из второго ящика наудачу взяли 1 шар и переложили в первый ящик. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первого ящика шар будет белым. Замечание. Перекладывание из второго ящика в первый белого шара (событие В 1) и красного шара (событие В 2) образуют полную группу независимых событий. Вероятность событий В 1 и В 2 Условные вероятности события А Искомая вероятность 25

Теорема Байеса Пусть события В 1, В 2, …, Вn несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появления одного из них. События Вi называются гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда условные вероятности гипотез Вi определяются по формулам Томас БАЙЕС (1702 – 1761) 26

Пример использования формул Байеса В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом, а 40 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0. 9 и 0. 75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом. Вероятность событий и В 1 и В 2 Искомая вероятность 27

1. 4. Независимые испытания Если проведении серии испытаний вероятность наступления события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то такие события называются независимыми относительно события А. Пусть выполняется серия из n независимых испытаний. В каждом испытании событие А наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступит k раз, определяется формулой Бернулли Якоб БЕРНУЛЛИ (1654 -1705) 28

Пример использования формулы Бернулли Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на 2, 3 и 4 вопроса при выборе ответа наудачу. Вероятность угадывания правильного ответа р=0. 25 Вероятность угадывания правильного ответа на 2 вопроса Вероятность угадывания правильного ответа на 3 вопроса Вероятность угадывания правильного ответа на 4 вопроса 29

Интегральная теорема Лапласа Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0

Выполнение расчетов по формуле Лапласа x Ф(х) 0. 0000 0. 40 0. 1554 0. 80 0. 2881 1. 20 0. 3849 0. 10 0. 0398 0. 50 0. 1915 0. 90 0. 3159 1. 30 0. 4032 0. 20 0. 0793 0. 60 0. 2257 1. 00 0. 3413 1. 40 0. 4192 0. 30 0. 1179 0. 70 0. 2580 1. 10 0. 3643 1. 50 0. 4345 31

32