МАТЕМАТИКА 3 Теория вероятностей и математическая статистика Проф

МАТЕМАТИКА 3 Теория вероятностей и математическая статистика Проф. ВЕДЕНЯПИН Евгений Николаевич (С) Веденяпин Е. Н. 2011 1

Основная литература Красс М. С. , Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов» , СПб. , Питер, 2007 Дополнительная литература Гмурман В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» , М. , Высшая школа, 1998 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 2

1. Основные положения теории вероятностей Рассматриваемые вопросы: v Основные понятия теории вероятностей v Умножение вероятностей v Обобщение умножения и сложения вероятностей v Независимые испытания (С) Веденяпин Е. Н. 2011 3

1. 1. Основные понятия теории вероятностей относительно некоторого комплекса условий S событие Случайное относительно некоторого комплекса условий S событие – это событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий S может либо произойти, либо не произойти. В теории вероятностей комплекс условий S называется испытанием. Замечание: Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями. В то же время она не может предсказать, произойдет ли единичное событие или нет. Предмет изучения теории вероятностей – это закономерности массовых однородных случайных событий. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 вероятностные 4

Факториал (С) Веденяпин Е. Н. 2011 5

Перестановки – это комбинации, состоящие из одной и той же совокупности n различных элементов Пример. 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 3 2 1 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 (С) Веденяпин 2011 6

Размещения – это комбинации из m элементов, составленные из n различных элементов (m

Сочетания – это комбинации из m элементов, составленные из n различных элементов (m

Виды случайных событий Случайные события называются несовместными, если в одном и том же испытании наступление одного события исключает появление других. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одно из них является достоверным событием. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 9

Понятие вероятности случайного события Элементарное событие (исход) – это каждый из возможных результатов испытания. Благоприятные события – это элементарные исходы, интересующие нас. Вероятность Р(А) события А – это отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 10

Пример вычисления вероятности события Пример. В коробке находятся 10 шаров: 6 белых, 4 черных. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад шаров будет 4 белых. Число благоприятных исходов Общее число исходов Искомая вероятность (С) Веденяпин Е. Н. 2011 11

Свойства вероятностей Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Свойство 3. Вероятность положительное число 0

1. 2. Умножение вероятностей Произведение двух событий А и В – это событие АВ, означающее одновременное наступление этих событий. Аналогично определяется произведение нескольких событий. Если при вычислении вероятности некоторого события никаких других ограничений, кроме комплекса условий S, не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же, кроме комплекса условий S, налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной. Замечание: Вероятность события В в предположении о наступлении события А называется условной вероятностью РА(В). (С) Веденяпин Е. Н. 2011 13

Вероятность произведения событий Теорема 1. Вероятность произведения двух событий равна Теорема 2. Имеет место равенство Замечание: Теорема 1 может быть обобщена на случай произведения любого числа событий А 1, А 2, А 3, …, Аn (С) Веденяпин Е. Н. 2011 14

Пример вычисления вероятности произведения событий В ящике находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз – красный шар (событие В), в третий раз синий шар (событие С). Вероятность события А Условная вероятность события В Условная вероятность события С Искомая вероятность (С) Веденяпин Е. Н. 2011 15

Независимые события Событие В называется не зависимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (то есть появление события В не влияет на вероятность события А) Теорема умножения вероятностей для независимых событий (С) Веденяпин Е. Н. 2011 16

Пример вычисления вероятности произведения независимых событий Найти вероятность одновременного поражения цели при стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели отдельными орудиями (события А, В, С) равны соответственно 0. 9, 0. 8 и 07. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 17

Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий Теорема 1. Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий определяется по формуле где qi=1 -pi – вероятности соответствующих противоположных событий Теорема 2. Если все независимые события Ai имеют одинаковую вероятность р, то вероятность наступления хотя бы одного события равна (С) Веденяпин Е. Н. 2011 18

Пример вычисления вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой машины в исправном состоянии равна 0. 8. Найти вероятность того, что в перевозке участвует хотя бы один автомобиль. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 19

1. 3. Обобщение умножения и сложения вероятностей События А и В называются совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого. Сумма двух событий А и В – это событие С=А+В, заключающееся в появлении либо события А, либо события В, либо событий А и В одновременно. Замечание: Аналогично определяется сумма нескольких состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 событий, 20

Теорема о вероятности суммы совместных Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей вероятности их произведения (С) Веденяпин Е. Н. 2011 без 21

Частные случаи Вероятность суммы независимых событий Вероятность суммы несовместных событий (С) Веденяпин Е. Н. 2011 22

Пример вычисления вероятности суммы независимых событий Найти вероятность поражения цели хотя бы одним орудием при стрельбе двумя орудиями, если вероятности поражения цели отдельными орудиями (события А и В) равны соответственно 0. 9 и 0. 8. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 23

Вероятность суммы полной группы независимых событий А 1, А 2, А 3, … Аn Вероятность суммы полной группы независимых событий равна единице ВЫВОД: Сумма полной достоверным событием. группы независимых (С) Веденяпин Е. Н. 2011 событий является 24

Формула полной вероятности Теорема. Пусть события B 1, B 2, …, Bn несовместны и образуют полную группу. Пусть также событие А может наступить при условии появления одного из событий Bi, причем известны как вероятности Р(Bi), так и условные вероятности РВ(Аi) (i=1, 2, 3, …, n). Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления события А (С) Веденяпин Е. Н. 2011 25

Пример расчета полной вероятности В двух ящиках находятся белые и красные шары: в первом – 4 белых и 5 красных, во втором – 7 белых и 3 красных. Из второго ящика наудачу взяли 1 шар и переложили в первый ящик. Найтиящика в первый белого наудачу Замечание. Перекладывание из второго вероятность того, что шара взятый после) этого из первого ящика шар будетобразуют полную группу (событие В 1 и красного шара (событие В 2) белым. независимых событий. Вероятность событий В 1 и В 2 Условные вероятности события А Искомая вероятность (С) Веденяпин Е. Н. 2011 26

Теорема Байеса Пусть события В 1, В 2, …, Вn несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появления одного из них. События Вi называются гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда условные вероятности гипотез Вi определяются по формулам Томас БАЙЕС (1702 – 1761) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 27

Пример использования формул Байеса В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом, а 40 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0. 9 и 0. 75 соответственно для первого и второго служащих банка. ВНайти вероятность полного обслуживания клиента Вероятность событий и 1 и В 2 первым операционистом. Искомая вероятность (С) Веденяпин Е. Н. 2011 28

1. 4. Независимые испытания Если проведении серии испытаний вероятность наступления события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то такие события называются независимыми относительно события А. Пусть выполняется серия из n независимых испытаний. В каждом испытании событие А наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступит k раз, определяется формулой Бернулли Якоб БЕРНУЛЛИ (1654 -1705) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 29

Пример использования формулы Бернулли Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых только один правильный. Найти Вероятность угадывания правильного ответа р=0. 25 вероятность правильного ответа на 2, 3 и 4 вопроса при выборе ответа наудачу. Вероятность угадывания правильного ответа на 2 вопроса Вероятность угадывания правильного ответа на 3 вопроса Вероятность угадывания правильного ответа на 4 вопроса (С) Веденяпин Е. Н. 2011 30

Интегральная теорема Лапласа Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0

Выполнение расчетов по формуле Лапласа x Ф(х) 0. 0000 0. 40 0. 1554 0. 80 0. 2881 1. 20 0. 3849 0. 10 0. 0398 0. 50 0. 1915 0. 90 0. 3159 1. 30 0. 4032 0. 20 0. 0793 0. 60 0. 2257 1. 00 0. 3413 1. 40 0. 4192 0. 30 0. 1179 0. 70 0. 2580 1. 10 0. 3643 1. 50 0. 4345 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 32

E-mail: enveden@yandex. ru (С) Веденяпин Е. Н. 2011 33