Математическое планирование эксперимента Нормальное и стандартное распределения случайной

Математическое планирование эксперимента Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении.

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Функция распределения:

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмущений, и у таких явлений закон распределения близок к нормальному.

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Установлено, что нормальное распределение содержит минимум информации о случайной величине по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений, что широко используется на практике.

Нормальное и стандартное распределения случайной величины График плотности нормального распределения называется нормальной кривой, или кривой Гаусса:

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным. Его функция распределения имеет вид:

Нормальное и стандартное распределения случайной величины График функции F 0(x) стандартного распределения.

Нормальное и стандартное распределения случайной величины Вероятность того, что значения нормированной случайной величины будут лежать в интервале от х01 до х02, равна

Функция Лапласа Функция Ф(Х) = F 0(х) – ½ называется функцией Лапласа

Функция Лапласа Значения функции Лапласа табулированы. Так как она является нечетной функцией, т. е. Ф(-х) = -Ф(х), то таблицы значений Ф(х) составлены лишь для х > 0.

Функция Лапласа Для нормированной случайной величины имеем:

Функция Лапласа Тогда в общем случае

Задача об абсолютном отклонении Во многих практических задачах х1 и х2 симметричны относительно математического ожидания, в частности в задаче об абсолютном отклонении. Абсолютным отклонением является величина

Задача об абсолютном отклонении Требуется найти вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины не превзойдет некоторого заданного числа ε:

Задача об абсолютном отклонении В частности, для нормированной случайной величины

Задача об абсолютном отклонении Тогда для нормально распределенной случайной величины с параметрами mx и σх справедливо

Задача об абсолютном отклонении Обозначив ε/σх = k, получаем

Задача об абсолютном отклонении Отсюда:

Задача об абсолютном отклонении Таким образом, отклонения больше, чем утроенный стандарт (утроенное стандартное отклонение), практически невозможны. На практике часто величины 2σх (или 3σх ) считают максимально допустимой ошибкой и отбрасывают результаты измерений, для которых величина отклонения превышает это значение, как содержащие грубые ошибки.

Свойство линейности Нормальное распределение обладает также свойством линейности: если независимые случайные величины Х 1 и Х 2 имеют нормальные распределения, то для произвольных чисел α и β величина Y = αX 1 + βX 2 также имеет нормальное распределение.

Свойство линейности При этом из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что

Вопросы к зачету 1. Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении. Свойство линейности.