МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Определение

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Определение. Если в каждой точке области задана числовая (скалярная) функция , то говорят, что в этой области задано скалярное поле (СП). Примеры физических СП: поля температур, давлений, плотностей и т. п. Геометрической характеристикой СП являются поверхности уровня, определяемые уравнением Определения. 1) Градиентом СП в точке называется вектор (1) 2) Производной СП в точке называется числовая величина по направлению вектора (2) где Из (1) и (2) следует (3) - орт вектора Замечание. Градиент поля ортогонален поверхности уровня. Модуль градиента есть наибольшее значение производной СП, достигаемое в направлении градиента поля.

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Определение. Если в каждой точке области функция задана векторная (4) то говорят, что в этой области задано векторное поле (ВП). Примеры физических ВП: поле скоростей, напряженность магнитного поля Геометрической характеристикой ВП являются силовые линии ( линии тока), определяемые уравнениями (5) Определения. 1) Дивергенцией ВП вида (4) в точке называется числовая величина, (6) 2) Вихрем (ротором) ВП вида (4) в данной точке называется вектор вида: (7) Замечание. Всякому векторному полю однозначно соответствует скалярное поле его дивергенции, а всякому скалярному полю – векторное поле его градиента.

Определения. 3) Потоком ВП (4) через гладкую поверхность S в направлении внешней нормали называется величина, равная ПИН 2 от функции (4) по ориентированной поверхности S: (8) 4) Циркуляцией ВП вида (4) вдоль кусочно-гладкого замкнутого контура Г называется величина, равная КРИН 2 от функции (4), взятому по контуру Г в положительном направлении: (9) Замечание. Поток поля через замкнутую поверхность связан с дивергенцией по теореме Гаусса – Остроградского; циркуляция поля по замкнутому контуру связана с ротором поля по теореме Стокса. Сформулируем обе теоремы в терминах теории поля.

Теорема Гаусса – Остроградского. Если кусочно-гладкая поверхность S ограничивает область V, в которой задано непрерывное векторное поле , то поток поля через границу области в направлении внешней нормали равен дивергенции поля по объему области V (10) - формула Г-О в векторной форме Теорема Стокса. Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля вдоль кусочно-гладкого замкнутого контура Г в положительном направлении равна потоку ротора поля в направлении внешней нормали к поверхности S, натянутой на контур Г. (11) - формула Стокса в векторной форме Г+ Замечание. Физический смысл дивергенции проясняет следующая теорема.

Теорема (о дивергенции поля в точке) Пусть V - односвязная замкнутая область с кусочно-гладкой поверхностью S в пространстве R 3 , в которой задано непрерывно дифференцируемое векторное поле Тогда в любой точке М области V дивергенция поля равна (12) где |V| - объем области V; d (V) – диаметр области. Доказательство. По формуле Г-О имеем: (А) Используем теорему о среднем для определенного интеграла: Для тройного интеграла по аналогии имеем Отсюда (Б) Подставим (Б) в формулу (А).

Получим: , откуда Будем стягивать область V в точку М 0, (В) устремляя диаметр области к нулю, при этом произвольная точка М области V устремится к точке М 0 Перейдём к пределу в выражении (В) при этих условиях. Получим: По условию теоремы, поле непрерывно дифференцируемо, значит дивергенция непрерывна Тогда предел дивергенции в точке равен её значению в этой точке, т. е. (12) Доказано. Замечание. Из (12) следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат (инвариантна). Физический смысл дивергенции – это плотность источников поля (при положительной дивергенции есть источники поля; при отрицательной - стоки поля; при нулевой - отсутствуют)