Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные

Скачать презентацию Математический анализ  Раздел:  Числовые и функциональные Скачать презентацию Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные

ryady.pptx

  • Размер: 122.4 Кб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 8

Описание презентации Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные по слайдам

Математический анализ  Раздел:  Числовые и функциональные ряды Тема:  Основные  понятияМатематический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Основные понятия теории числовых рядов

Глава III. Числовые ряды § 14.  Основные понятия теории числовых рядов 1. ОсновныеГлава III. Числовые ряды § 14. Основные понятия теории числовых рядов 1. Основные определения Пусть задана числовая последовательность { u n } ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида u 1 + u 2 + … + u n + … = называют числовым рядом. При этом, члены последовательности { u n } называются члена- ми ряда (1 -м, 2 -м, …, n -м (общим членом) ) 1 n nu

Если начиная с некоторого номера N  для членов ряда справедливо равенство u NЕсли начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо равенство u N = u N + 1 = u N + 2 = … = 0 , то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным. Ряд ∑ u n называют • знакоположительным , если u n 0 , n ℕ ; • знакоотрицательным , если u n 0 , n ℕ ; • знакопостоянным , если он знакоположительный или знакоотрицательный; • знакопеременным , если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Для ряда ∑ u n  запишем последовательность S 1 = u 1 ,Для ряда ∑ u n запишем последовательность S 1 = u 1 , S 2 = u 1 + u 2 , … , S n = u 1 + u 2 + … + u n , … Числа S 1 , S 2 , …, S n называют частичными суммами ряда ∑ u n (1 -й, 2 -й, …, n -й ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд ∑ u n называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { S n }. При этом, число называют суммой ряда ∑ u n . Если то говорят, что ряд ∑ u n расходится и не имеет суммы. Если S – сумма ряда ∑ u n , то записывают: ∑ u n = S . n n SS lim )lim(lim n n SS

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом анализе: Определить, сходится или расходится заданныйОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом анализе: Определить, сходится или расходится заданный ряд (говорят: «исследовать ряд на сходимость» ) 2) Рассматривается в вычислительной математике: Найти сумму сходящегося ряда. Найти точное значение суммы S сходящегося ряда удается редко. Обычно полагают S ≈ S n где n выбирают так, чтобы | R n | = | S – S n | < ( заранее задано). Число R n называют остатком ряда.

2. Основные свойства числовых рядов ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно сходимости не изменится ,2. Основные свойства числовых рядов ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно сходимости не изменится , если добавить ( отбросить ) конечное число членов ряда. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Произведением ряда ∑ u n на число c ℝ называется ряд ∑ c u n . 2) Суммой ( разностью ) рядов ∑ u n и ∑ v n называется ряд ∑ ( u n + v n ) [ ∑( u n – v n ) ]. ОБОЗНАЧАЮТ: c ∑ u n – произведение ряда на число c ; ∑ u n ∑ v n – сумма (разность) рядов ∑ u n и ∑ v n

ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если ряд  ∑ u nТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Если ряд ∑ u n сходится и его сумма равна U , ряд ∑ v n сходится и его сумма равна V , то а) ряд ∑ cu n – сходится и его сумма равна c. U ( c ℝ ); б) ряд ∑( u n v n ) – сходится и его сумма равна U V . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ теоремы 2. 1) Если ∑ u n расходится , то c 0 ( c ℝ ) ряд ∑ cu n – тоже расходится. 2) Если ряд ∑ u n сходится , а ряд ∑ v n расходится, то ряд ∑( u n v n ) – расходится . .

ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд  ∑ u n сходится ,ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд ∑ u n сходится , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда) Если , то ряд ∑ u n расходится. ТЕОРЕМА 4 (закон ассоциативности для сходящихся рядов). Пусть ряд ∑ u n сходится и его сумма равна U Если сгруппировать члены этого ряда , НЕ ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА , то полученный в результате этого ряд будет сходиться и иметь ту же сумму U. . 0 lim n n u