МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава 1. Введение в математический

Описание презентации МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава 1. Введение в математический по слайдам

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 1. Введение в математический анализ.  Множества, функции. § 1 Множества. Основные определения.Глава 1. Введение в математический анализ. Множества, функции. § 1 Множества. Основные определения. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают .

Множества, элементами которых являются числа,  называют числовыми.  Примерами числовых множеств являются: Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Примерами числовых множеств являются: N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел. ; . . . ; ; 3; 2; 1 n ; . . . ; ; 2; 1; 0 n Nn. Zm n m , :

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 4 Включение множеств В А В А (А В)

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 5 Объединение множеств А U В = ВА А АВ В В

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 6 Пересечение множеств АА А А ААUUUВ В В =

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 7 Вычитание множеств А \ В = А \ ВА А АА В В ВВ

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 8 Числовые множества 1. N, Z, Q, I, R, R R, C. 2. Подмножества вещественных чисел: Пусть . Отрезок, сегмент: ; Интервал: ; Полуинтервал: , ; Замкнутый луч: , ; Открытый луч: , . Определение. Пусть x 0 R, > 0. Интервал ( x 0 — , x 0 + ) будем называть -окрестностью точки x 0 . Обозначение: U( x 0 , )= ( x 0 — , x 0 + )= { x R | | x — x 0 |< }. вxа. Rxва|, ва. Rва, , вxa. Rxва|, вxа. Rxba|, ax. Rxa|,

Бер Л. М. Введение в анализ.    ТПУ Рег. № 282 отБер Л. М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25. 11. 2009 Company Logo 9 Числовые множества 3. R + , – = Пусть > 0. Тогда U( + , )=(1/ ; + ) + = x | x > 1/ ; U(– , )=(– ; – 1/ ) – = x | x 1/ . R

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы: означает «для любого» ,В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы: означает «для любого» , «для всякого» , «каждый» ; означает «существует» , «найдется» ; : «имеет место» , «такое, что» ; «предложения и равносильны» ; «из предложения следует предложение » .

§ 2 Числовые промежутки. Окрестность точки.  Пусть и действительные числа, причем Числовыми промежутками§ 2 Числовые промежутки. Окрестность точки. Пусть и действительные числа, причем Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид отрезок; интервал; полуинтервал. ab. ba bxaxba : ; bxaxba: ;

Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков.  Пусть любое действительное числоЧисла и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Пусть любое действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки называется любой интервал содержащий точку В частности, интервал , где называется -окрестностью точки ab 0 x 0 x , ; ba. 0 x ), (); ( 000 x. Vxx 0. 0 x

§ 3 Понятие функции. Способы задания функций.  Пусть даны два непустых множества и§ 3 Понятие функции. Способы задания функций. Пусть даны два непустых множества и Правило по которому каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент называется функцией и записывается или При этом множество называется областью определения функции и обозначается или а множеством значений функции и обозначается или X. Y , f. Xx , Yy )(xfy. : YXf X f)(f. D ), (y. DY f)(f. E). (y.

Пусть функция такова, что для В этом случае любому элементу может быть поставлен вПусть функция такова, что для В этом случае любому элементу может быть поставлен в соответствие единственный элемент тем самым определена новая функция называемая обратной заданной функции Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. YXf: ). ()(: , 212121 xfxfxx. Xxx Yy ; )(: yxf. Xx , : 1 XYf . f

Если где R , то функция называется сложной функцией  или композицией функций Если где R , то функция называется сложной функцией или композицией функций и Чтобы задать функцию необходимо указать правило, позволяющее, зная находить соответствующее значение Существуют три способа задания функций: , : YUFUXf YUX, , xf. Fy f. F ), (xfy , x. y

1) графический :  задается график функции;  2)  табличный :  функция1) графический : задается график функции; 2) табличный : функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции; 3) аналитический : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию ). (xfy

§ 4 Основные характеристики функции.  1) Функция определенная на множестве называется четной ,§ 4 Основные характеристики функции. 1) Функция определенная на множестве называется четной , если выполняются условия: и нечетной , если выполняются условия: и Из определения следует, что если функция задана аналитически и ее область определения не является симметричным относительно точки множеством, то функция не может быть ни четной, ни нечетной. ), (xfy, D Dx Dx); ()(xfxf Dx Dx). ()(xfxf D )0, 0(O

График четной функции симметричен относительно оси а нечетной  относительно начала координат.  2)График четной функции симметричен относительно оси а нечетной относительно начала координат. 2) Функция называется возрастающей на на интервале если выполняется условие Функция называется убывающей на на интервале если выполняется условие Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. , Oy )(xfy ), , (ba, : ), (, 2121 xxbaxx ). ()(21 xfxf

Интервалы, на которых функции монотонны, называются интервалами монотонности.  3) Функцию определенную на множествеИнтервалы, на которых функции монотонны, называются интервалами монотонности. 3) Функцию определенную на множестве называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число ), (xfy , D : 0 M. )(Mxf. Dx

§ 5 Основные элементарные функции и их графики. Понятие элементарной функции.  Основными элементарными§ 5 Основные элементарные функции и их графики. Понятие элементарной функции. Основными элементарными функциями называются следующие функции: 1. Степенная функция R. , xy

2.  Показательная функция . 1, 0,  aaayx 2. Показательная функция . 1, 0, aaayx

3. Логарифмическая функция . 1, 0, logaaxya 3. Логарифмическая функция . 1, 0, logaaxya

4. Тригонометрические функции 4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции.  xyаarcsin) xyбarccos) arctgxyв) arcctgxyг) 5. Обратные тригонометрические функции. xyаarcsin) xyбarccos) arctgxyв) arcctgxyг)

Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания,Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиций, называется элементарной функцией. Примеры элементарных функций: . 3 12 )4 , 7)3 , 2 arccos)2 , 5 sin)1 2 x x y xtgxy y xy x

Примеры неэлементарных функций:  где. . . , !. . . !3!2!1)2 , 0,Примеры неэлементарных функций: где. . . , !. . . !3!2!1)2 , 0, 0, 5 )1 2 ny xx x y. . 321!nn

Глава 2. Теория пределов. § 1 Числовая последовательность.  Предел числовой последовательности.  Функция,Глава 2. Теория пределов. § 1 Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Функция, областью определения которой является множество N натуральных чисел, называется числовой последовательностью и обозначается или При этом называется n -ым членом последовательности. Геометрически каждому члену последовательности соответствует точка на числовой оси )(nfxn 1 nn x. nx n x. Ox

Пример.  Формула задает последовательность: n 1, . . . 1 , . .Пример. Формула задает последовательность: n 1, . . . 1 , . . . , 3 1 , 2 1 , 1 n

Пусть функция последовательно принимает значения т. е. пробегает последовательность Важным случаем такого изменения функцииПусть функция последовательно принимает значения т. е. пробегает последовательность Важным случаем такого изменения функции является тот, при котором по мере возрастания номера соответствующие значения неограниченно приближаются (стремятся) к некоторому постоянному значению в этом случае говорят, что последовательность стремится к пределу Но выражения «неограниченно приближаются» , «стремятся» неопределенные и поэтому не годятся для точного математического понятия предела. )(nfxn , . . . , , 21 n xxx. nx n nx ; а nx. а

Для точного определения понятия «предел» введем произвольное малое положительное число оно произвольно, его поДля точного определения понятия «предел» введем произвольное малое положительное число оно произвольно, его по желанию можно задавать равным 0, 01, и 0, 001, и вообще поскольку Факт неограниченного сближения последовательности с постоянной можно охарактеризовать так: каково бы ни было малое положительное число в процессе изменения последовательности рано или поздно должен наступить такой момент, начиная с которого все ее дальнейшие значения будут отличаться от по абсолютному значению меньше, чем на это произвольное ; . , 10 Nk k nxа , n xа.

Пусть этому моменту отвечает значение оно, очевидно, зависит от задания числа чем меньше, темПусть этому моменту отвечает значение оно, очевидно, зависит от задания числа чем меньше, тем больше должно быть зависимость от записывается в виде Итак, факт неограниченного приближения последовательности к постоянной можно математически записать следующим образом: ; Nn : ; N N ). (N nxа

Число называется пределом если для любого найдется такое натуральное что для всех номеров будетЧисло называется пределом если для любого найдется такое натуральное что для всех номеров будет выполняться неравенство Определение. последовательности положительного числа число a , nx ), (N)(Nn. axn

Кратко определение предела можно записать так:  (6. 1)  Геометрический смысл определения пределаКратко определение предела можно записать так: (6. 1) Геометрический смысл определения предела последовательности: Неравенство равносильно неравенствам или т. е. . )( : )(0 lim ax. Nn Nax n n n axn, axan. ), ( a. V n aax

Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать так: число называется пределом последовательности  если дляПоэтому определение предела последовательности можно сформулировать так: число называется пределом последовательности если для любой окрестности точки найдется такой номер что все члены последовательности для которых попадут в окрестность точки a , nx a ), (N, n x ), (Nn. a

Ясно, что чем меньше тем больше число но в любом случае внутри окрестности точкиЯсно, что чем меньше тем больше число но в любом случае внутри окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае расходящейся. Пример. Доказать, что Решение. Воспользуемся определением (6. 1): , ), (N a 1 1 1 lim n n n. 1 1 1 )(: )(01 1 1 lim n n Nn. N n n n

Преобразуем последнее неравенство Таким образом,  можно взять равным ближайшему по избытку к натуральномуПреобразуем последнее неравенство Таким образом, можно взять равным ближайшему по избытку к натуральному числу, т. е. равным где . 122 11 2 1 12 12 1 11 11 nnn nn n n )(N ,

Итак, для указано соответствующее значение Это и доказывает, что  целая часть числа т.Итак, для указано соответствующее значение Это и доказывает, что целая часть числа т. е. наибольшее целое число, не превосходящее Например, для соответствующее значение т. е. все члены последовательности, начиная с попадут в интервал 0. 2 )( N 1 1 1 lim n n n x , x. x 01, 0 , 200)(N 200 x ). 01, 1; 99, 0()01, 01; 01, 01(

§ 2 Предел функции в точке.  Бесконечно большая и бесконечно малая функция. § 2 Предел функции в точке. Бесконечно большая и бесконечно малая функция. Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента и предположим, что аргумент стремится к некоторому числу Может случиться, что при неограниченном приближении аргумента к числу соответствующие значения функции неограниченно приближаются к некоторому числу )(xfy x x. a xа )(xf.

Определение.  Число называется пределом функции  при если при всяком положительном числе можноОпределение. Число называется пределом функции при если при всяком положительном числе можно указать другое положительное число зависящее от выбора такое, что абсолютная величина разности будет меньше когда абсолютная величина разности будет меньше т. е. если числовые значения функции будут заключены в произвольной -окрестности числа при условии, что числовые значения аргумента взяты в достаточно малой -окрестности числа (исключая само число ): А )(xf, ax , , Axf)(, ax , )(xf А xа а

. )(0: : )(0 )(lim  Axfaxx Axf ax . )(0: : )(0 )(lim Axfaxx Axf ax

Бесконечно большая функция (б. б. ф).  Определение.  Функция называется б. б. ф.Бесконечно большая функция (б. б. ф). Определение. Функция называется б. б. ф. при если для любого числа найдется такое положительное число зависящее от выбора что для всех удовлетворяющих условию будет выполняться: )(xfy , ax 0 M , , M, x ax 0. )(Mxf Mxfaxx. MM xf ax )(0: 0)(0 )(lim

Бесконечно малая функция (б. м. ф. ).    Связь между б. м.Бесконечно малая функция (б. м. ф. ). Связь между б. м. ф. и б. б. ф. Определение. Функция называется б. м. ф. при если для любого числа найдется такое положительное число зависящее от выбора что для всех удовлетворяющих условию будет выполняться: )(xfy , ax 0 , , , x ax 0. )(xf )(0: 0)(0 0)(lim xfaxx xf ax

Теорема.  1)  Если б. м. ф. в то б. б. ф. вТеорема. 1) Если б. м. ф. в то б. б. ф. в т. е. 2) Если б. б. ф. в то б. м. ф. в т. е. )(xfy), (a. V )( 1 xf y), (a. V. )( 1 lim 0)(lim xf xf axax )(xgy )( 1 xg y. 0 )( 1 lim)(lim xg xg axax

Символически это утверждение можно записать так:  и где символы и следует понимать какСимволически это утверждение можно записать так: и где символы и следует понимать как неограниченно близкое приближение к нулю и к бесконечности соответственно. 0 11 0,

§ 3 Вычисление пределов.  Практическое вычисление пределов основывается на связи между б. м.§ 3 Вычисление пределов. Практическое вычисление пределов основывается на связи между б. м. ф. и б. б. ф. и на следующей теореме. Теорема. Если и то: 1) 2) 3) lim ( ), x a f x )(limxg ax , C const ; lim. CC ax ); (lim))((limxf. C axax ); (lim))()((limxgxf axaxax

4)  5)  6)  7) ); (lim))()((limxgxf axaxax ); 0)(lim(, )(lim )(4) 5) 6) 7) ); (lim))()((limxgxf axaxax ); 0)(lim(, )(lim )( )( lim xg xg xf ax ax lim( ( )) (lim ( )) ; n n x a f x . )(lim )( xg ax ax xfxf

При применении этой теоремы необходимо иметь в виду,  что для любого ненулевого числаПри применении этой теоремы необходимо иметь в виду, что для любого ненулевого числа справедливо: 1) 2) 3) 5) 4) 6) 9) 8) 7) 10) 11) С ; 00 С 0 ; C C ; 0 0 C ; C ; 000 ; . , Nn n

А если условия этой теоремы не выполнены, то могут возникнуть неопределенности  вида которыеА если условия этой теоремы не выполнены, то могут возникнуть неопределенности вида которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований данного выражения и отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенностей. 0 00 , , 1 , ,

Кроме того, будем пользоваться тем фактом, что для всех основных элементарных функций в любойКроме того, будем пользоваться тем фактом, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство Последнее равенство можно понимать так: вычисление любого предела нужно начинать с непосредственной подстановки предельного значения, и, если нет неопределенностей, то сразу записать ответ. ). ()lim()(limafxfxf axax

Также при нахождении пределов полезно иметь в виду следующие свойства показательной функции: , 1,Также при нахождении пределов полезно иметь в виду следующие свойства показательной функции: , 1, 10, 0 lim a a a x x. 1, 0 10, lim a a a x x

Пример.  1) 2) 2 2 1 3 lim ; 3 5 3 2Пример. 1) 2) 2 2 1 3 lim ; 3 5 3 2 5 11 x x x 2 2 2: 2 22 2 2 2 1 lim 3 73 7 2 12 1 11 1 0 0 1 lim ; 1 73 0 0 3 3 3 x x x xx x x x

3) 3 2 2 : 3 3 2 3 3 5 10 lim 73) 3 2 2 : 3 3 2 3 3 5 10 lim 7 17 1 5 1 10 0 0 lim 0; 1 17 0 0 7 7 7 x x x xx x x x

4)  44 2 4 2: 4 4 4 2 4 3 4 24) 44 2 4 2: 4 4 4 2 4 3 4 2 1 lim 3 13 1 1 11 1 22 2 0 0 2 lim ; 3 10 0 0 x x x xx x x x

5)  Примечание: где и  корни соответствующего квадратного уравнения. 2 21 1 15) Примечание: где и корни соответствующего квадратного уравнения. 2 21 1 1 2 1 0 ( 1)(2 1) lim 3 2 0 ( 1)(3 2) 2 1 1 3 lim ; 3 2 3 1 2 5 x x x x ), )((21 2 xxxxacbxax 1 x 2 x

6)  Примечание: 2 3 24 4 2 24 2 7 4 0 (6) Примечание: 2 3 24 4 2 24 2 7 4 0 ( 4)(2 1) lim 64 0 ( 4)( 4 16) 2 1 2 ( 4) 1 9 3 lim ; 4 16 ( 4) 4 ( 4) 16 48 16 x x x x ). )(( 2233 baba

7) 223 3 1 2 0 ( 1 2) lim 3 0( 3 )(7) 223 3 1 2 0 ( 1 2) lim 3 0( 3 )( 1 2) 1 4 3 lim ( 3 )( 1 2) ( 3)( 1 2) x x x x xx x x ; 12 1 43 1 )21( 1 lim 3 xxx

8)  4 4 4 2 0 ( 2)( 6 1 5) lim 068) 4 4 4 2 0 ( 2)( 6 1 5) lim 06 1 5( 6 1 5) 6 1 5 ( 2) ( 4)(( 6 1 5) lim (6 1 25)( 2) x x x xx x x x 4 ( 4)( 6 1 5) lim 6( 4)( 2)x x x 4 6 1 5 10 5 lim. 24 126( 2)x x x

9) 3 lim ( 3) 4 4 lim 2 5 4 1 lim 59) 3 lim ( 3) 4 4 lim 2 5 4 1 lim 5 2 x x x ;

10) 5 lim 5 4 2 2 4 lim lim 35 3 5 410) 5 lim 5 4 2 2 4 lim lim 35 3 5 4 2 2 0 2 5. 35 0 5 2 5 x x x xx x

§ 4 Первый и второй замечательные пределы.  Замечательными (ввиду большого числа их применений)§ 4 Первый и второй замечательные пределы. Замечательными (ввиду большого числа их применений) назвали следующие два предела Первый: или 1 sin lim 0 x x x 1 )( )(sin lim 0)( x x x

Второй: или или где экспонента, ex x x  1 0 )1(limex x xВторой: или или где экспонента, ex x x 1 0 )1(limex x x )( 1 0)( ))(1(lim e x x x 1 1 lim ( ) 1 lim 1 , ( ) x x e x e 2, 7. e

Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенности вида при вычислении пределов,  содержащих тригонометрическиеПервый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенности вида при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции. Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида 0 0.

Пример.  1) 0 0 0 5 sin 5 1 lim cos 5 5Пример. 1) 0 0 0 5 sin 5 1 lim cos 5 5 sin 5 1 lim 5 cos 5 sin 5 5 lim 1 5 1 1 5; 5 x x x tg x x x x x

2) 2 220 2 2 220 0 1 cos 2 2 sin 1 cos2) 2 220 2 2 220 0 1 cos 2 2 sin 1 cos 0 lim 01 cos 2 sin 2 2 lim 4 4 x x xx 2 2 2 0 0 sin 2 1 1 12 2 lim 1 ; 4 2 2 2 x x x

3) 0 0 sin 3 3 sin 3 03 lim sin 7 0 73) 0 0 sin 3 3 sin 3 03 lim sin 7 0 7 7 sin 3 lim 3 3 1 33 ; sin 77 7 1 7 lim 7 x x x xx xx x x x

4)       323232 4 54 lim 4 144 lim4) 323232 4 54 lim 4 144 lim 1 4 1 lim x x xx x x )32( 4 5 5 4 32 45 1 lim 45 44 limx x x xxxx 10 15 lim 44 10 155 lim 4 15 10 lim 410 1101 10 5 lim 1 4 1. x x xx x x e x e e

§ 5 Односторонние пределы.  В определении предела считается, что стремится к любым способом:§ 5 Односторонние пределы. В определении предела считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ) или колеблясь около точки Но бывают случаи, когда способ приближения к существенно влияет на значение предела функции, поэтому вводят понятие односторонних пределов. Axf ax )(lim xa a aa a. a a

Определение.  Число называется пределом функции  слева в точке если и обозначается илиОпределение. Число называется пределом функции слева в точке если и обозначается или 1 A )(xfy, ax 1 )( ), (: 0)(0 Axf aax 1 0 )(lim. Axf ax . )0( 1 Aaf

Определение.  Число называется пределом функции  справа в точке если и обозначается илиОпределение. Число называется пределом функции справа в точке если и обозначается или 2 A )(xfy, ax 2 )( ), (: 0)(0 Axf аax 2 0 )(lim. Axf ax . )0( 2 Aaf

Пределы слева и справа называются односторонними пределами.  Примечание.  Для используется особая запись:Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Примечание. Для используется особая запись: вместо и пишут соответственно и Символы следует понимать как бесконечно близкое приближение к нулю, оставаясь при этом левее (правее) нуля. 0 а 00 x 0 x. 0 x 0)0(

Пример.  1) 2) ; 0 5 202 302 2 3 lim 02 Пример. 1) 2) ; 0 5 202 302 2 3 lim 02 x x x. 0 5 1 55 555 lim 0 1 033 1 )03(3 1 03 x x

§ 6 Непрерывность функции.  Классификация точек разрыва.  Пусть функция определена в Для§ 6 Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Пусть функция определена в Для называют приращением аргумента в точке а приращением функции в точке )(xfy). ( 0 x. V )(0 x. Vx 0 xxx x; 0 x )()( 0 xfxfy. 0 x

Очевидно, что и могут быть как положительными, так и отрицательными. xy Очевидно, что и могут быть как положительными, так и отрицательными. xy

Определение 1.  Функция называется непрерывной в точке если т. е. бесконечно малому приращениюОпределение 1. Функция называется непрерывной в точке если т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. )(xfy , 0 xx , 0 lim 0 y x

Определение 2.  Функция называется непрерывной в точке если 1)  определена в точкеОпределение 2. Функция называется непрерывной в точке если 1) определена в точке и ее окрестности; 2) и 3) 4) )(xfy , 0 xx )(xf 0 x )0()(lim 0 00 xfxf xx ; )0()(lim 0 00 xfxf xx ; )0()0(00 Axfxf ). ( 0 xf.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этомЕсли функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве. Точка называется точкой разрыва, если хотя бы одно из условий определения 2. Если нарушено условие 2), то точка называется точкой разрыва второго рода ; а если нарушены условия 3) или 4), то точка называется точкой разрыва первого рода (при нарушении условия 3) называется точкой скачка и скачок равен )(xfy 0 xx 0 x 0 x ), 0()0(00 xfxf

а при нарушении условия 4) называется точкой устранимого разрыва ).  Свойства непрерывных функций.а при нарушении условия 4) называется точкой устранимого разрыва ). Свойства непрерывных функций. 1) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. 2) Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. 3) Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю. 0 x

4) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего4) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Пример. Найти точки разрыва функции и установить их характер а) б) ; 6 1 x y . 1, 12 , 1, 2 xx xx y

Решение.  а) Функция является элементарной,  а следовательно, по свойству 1,  иРешение. а) Функция является элементарной, а следовательно, по свойству 1, и непрерывной на всем множестве R , за исключением точки Значит, является точкой разрыва данной функции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы в этой точке: x y 1 6. 0 x 0 x. 666 lim , 0 6 1 666 lim 0 11 0 x x

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, т. е. не выполняется условие 2) определенияПоскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, т. е. не выполняется условие 2) определения 2, то точка разрыва второго рода. б) Данная функция непрерывна для так как на каждом из этих интервалов формулы, задающие функцию, определяют элементарные функции. Точкой разрыва может быть лишь точка в которой меняется аналитическое выражение функции Найдем односторонние пределы: ), ; 1()1; ( x , 1 x ). (xf 0 x

Так как и то в точке исходная функция имеет точку разрыва первого рода, аТак как и то в точке исходная функция имеет точку разрыва первого рода, а именно точку скачка, скачок равен. 3112)12(lim)01( , 11 lim)(lim)01( 0101 22 0101 xxff xx xx )01(, )01(ff ), 01()01(ff 1 x. 213)01(ff

Глава 3. Дифференциальное исчисление  функции одной переменной Дифференциальное исчисление  – раздел математики,Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. § 1. Производная функции 1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f ( x ) определена в точке x 0 и некоторой ее окрестности. Придадим x 0 приращение x такое, что x 0 + x D( f ). Функция при этом получит приращение f ( x 0 ) = f ( x 0 + x ) – f ( x 0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Производной функции  y = f ( x ) в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f ( x ) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента x, при x 0 (если этот предел существует и конечен), т. е. Обозначают: Производной функции y = f ( x ) в точке x 0 справа ( слева ) называется ( если этот предел существует и конечен ). Обозначают: – производная y = f ( x ) в точке x 0 справа, – производная y = f ( x ) в точке x 0 слева. . )()( lim 00 0 0 0 x xfxxf xx , )(0 0 dx xdy xy. )( , )(0 0 dx xdf xf x )( lim 0 0 x xf x )( lim 0 0 )(, )(00 xfxy

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существо- вания производной).  Функция y = fТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существо- вания производной). Функция y = f ( x ) имеет производную в точке x 0 в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f ( x ) имеет производную в точке x 0 , то функция f ( x ) в этой точке непрерывна. Замечание. Непрерывность функции в точке x 0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x 0 = 0. . )()()(000 xfxfxf

Соответствие  x 0  f  ( x 0 )  является функцией,Соответствие x 0 f ( x 0 ) является функцией, определенной на множестве D 1 D( f ). Ее называют производной функции y = f ( x ) и обозначают Операцию нахождения для функции y = f ( x ) ее производной функции называют дифференцированием функции f ( x ). , , dx dy y. , )( dx df xf

2. Физический и геометрический смысл производной  1) Физический смысл производной.  Если функция2. Физический и геометрический смысл производной 1) Физический смысл производной. Если функция y = f ( x ) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная f ( x ) – скорость изменения величины y относительно величины x . ПРИМЕРЫ. а) Пусть S = S ( t ) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S ( t 0 ) – скорость в момент времени t 0. б) Пусть q = q ( t ) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q ( t 0 ) – скорость изменения количества электричества в момент времени t 0 , т. е. сила тока в момент времени t 0. в) Пусть m = m ( x ) – масса отрезка [ a ; x ]. Тогда m ( x ) – скорость изменения массы в точке x 0 , т. е. линейная плотность в точке x 0.

2) Геометрический смысл производной. Пусть  ℓ – некоторая кривая,  M 0 –2) Геометрический смысл производной. Пусть ℓ – некоторая кривая, M 0 – точка на кривой ℓ. Любая прямая, пересекающая ℓ не менее чем в двух точках , называется секущей. Касательной к кривой ℓ в точке M 0 называется предельное положение секущей M 0 M 1 , если точка M 1 стремится к M 0 , двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M 0 существует, то она единственная. 1 M 0 M

Рассмотрим кривую  y = f ( x ).  Пусть в точке MРассмотрим кривую y = f ( x ). Пусть в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) она имеет невертикальную касатель- ную M 0 N. Имеем: tgβ = f ( x 0 ) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f ( x ) в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )). (геометрический смысл производной функции в точке). Уравнение касательной к кривой y = f ( x ) в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) можно записать в виде 0 x 1 M 0 M xx 0 )(0 xy N K )()()(000 xxxfxfy

Замечания.  1) Прямая,  проходящая через точку  M 0 перпендикулярно касательной, Замечания. 1) Прямая, проходящая через точку M 0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M 0 , называется нормалью к кривой в точке M 0. Т. к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k 1 k 2 = – 1 , то уравнение нормали к y = f ( x ) в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) будет иметь вид , если f ( x 0 ) 0. Если f ( x 0 ) = 0, то касательная к кривой y = f ( x ) в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) будет иметь вид y = f ( x 0 ), а нормаль x = x 0. )( )( 1 )(0 0 0 xx xf xfy

3. Правила дифференцирования  1) Производная константы равна нулю , т. е. C 3. Правила дифференцирования 1) Производная константы равна нулю , т. е. C = 0, где С – константа. 2) Производная суммы ( разности ) равна сумме ( разности ) производных , т. е. 3) Производная произведения находится по правилу : Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например, vuvu)( vuvuvu)( , )(wvuwvu. )(twvutwvutwvu

      ,  где  С – константа. , где С – константа. Говорят: «константа выносится за знак производной» . 5) Производная дроби находится по правилу : 6) Если функция ( t ) имеет производную в точке t, а функция f ( u ) имеет производную в точке u = ( t ) , то сложная функция y = f ( ( t )) имеет производную в точке t, причем (правило дифференцирования сложной функции). 7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции). Пусть функция y = f ( x ) имеет производную в точке x 0 , причем f ( x 0 ) 0. Если существует обратная функция x = ( y ) , то она имеет производную в точке y 0 = f ( x 0 ) и u. C)()4. 0)( 2 xv v vuvu v u uufy)( )( 1 )( 0 0 xfy

По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (так называемаяПо определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (так называемая «таблица производных» ). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференцирования.

§ 2. Дифференциал функции  1. Определение и геометрический смысл  ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Функция§ 2. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f ( x ) называется дифференци- руемой в точке x 0 , если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно x части и бесконечно малой более высокого порядка чем x , т. е. f ( x 0 ) = A x + ( x ) , (1) где A – число , ( x ) – б. м. более высокого порядка чем x. Слагаемое A x в выражении (1) (т. е. линейную относи- тельно x часть f ( x 0 )) называют дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x 0 и обозначают: dy ( x 0 ) , df ( x 0 ).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной).  Функция  y = fТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f ( x ) дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную. При этом для ее дифференциала в точке x 0 справедливо равенство dy ( x 0 ) = f ( x 0 ) x. (2) Соответствие ( x 0 ; x ) df ( x 0 ) является функцией (2 -х перемен- ных). Ее называют дифференциалом функции y = f ( x ) и обозначают dy , df ( x ).

Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой поЗамечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и ту же задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f ( x ) называется дифференци- руемой на интервале ( a ; b ) если она дифференцируема (т. е. имеет производную) в каждой точке этого интервала. Функция y = f ( x ) называется дифференцируемой на отрез- ке [ a ; b ] если она дифференцируема на интервале ( a ; b ) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f ( x ).  ПустьГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f ( x ). Пусть функция y = f ( x ) дифференцируема в точке x 0. Тогда в x 0 функция f ( x ) имеет производную f ( x 0 ). в точке M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) касательная к кривой y = f ( x ). Дифференциал функции y = f ( x ) в точке x 0 равен приращению ординаты точки на касательной к кривой y = f ( x ), которое соответствует приращению x. 0 x K 0 M xx 0 )(0 xdy N

Замечания.  1) Так как для дифференциала функции  y = x  справедливоЗамечания. 1) Так как для дифференциала функции y = x справедливо dy = dx = x , то говорят: « дифференциал независимой переменной равен ее приращению » . Учитывая этот факт, формулу (2) можно переписать в виде dy = f ( x ) dx. (3) 2) Из формулы (3) получаем, что производная y = f ( x ) явля- ется отношением 2 -х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь. . )( dx dy xfy dx dy

2. Свойства дифференциалов  Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем,  что справедливы2. Свойства дифференциалов Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что справедливы следующие утверждения 1) Дифференциал константы равна нулю , т. е. d ( C ) = 0 , где C – константа. 2) Дифференциал суммы ( разности ) равна сумме ( разности ) дифференциалов , т. е. d ( u v ) = du dv. 3) Дифференциал произведения находится по правилу : d ( u v ) = du v + u dv. 4) d ( C u ) = C du , где C – константа. Говорят: « константа выносится за знак дифференциала » . 5) Дифференциал дроби находится по правилу : . 0)(, 2 xv v dvuvdu v u d

6) Формула dy = f  ( x )  dx справедлива не только6) Формула dy = f ( x ) dx справедлива не только в том случае, когда x является независимым аргументом, но и в случае, когда x – функция. Поэтому формулу dy = f ( x ) dx называют инвариантной формой записи дифференциала. Замечание. Формула dy = f ( x ) x (2) не является инвариантной. Т. е. она не будет справедлива, если x – функция.

§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков  1. Производные высших порядков Пусть y§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Пусть y = f ( x ) дифференцируема на множестве X 1 D( f ). Тогда на X 1 определена f ( x ). Функцию f ( x ) называют также первой производной функции f ( x ) (или производной первого порядка функции f ( x ) ). Если f ( x ) дифференцируема на некотором множестве X 2 X 1 , то ( f ( x )) называют второй производной функции y = f ( x ) (или производной второго порядка функции f ( x ) ) и обозначают Замечание. Значение второй производной функции f ( x ) в точке x 0 обозначают , , 2 2 dx yd y. ), ( 2 2 dx fd xf , )( ), ( 2 0 dx xyd xy. )( ), ( 2 0 dx xfd xf

Если  f  ( x )  тоже дифференцируема на некотором множестве Если f ( x ) тоже дифференцируема на некотором множестве X 3 X 2 , то ее производную ( f ( x )) называют третьей про- изводной функции y = f ( x ) (или производной третьего порядка функции f ( x ) ). Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции y = f ( x ) ее производную от производной порядка n – 1. Обозначают: – третья производная y = f ( x ); – четвертая производная y = f ( x ); – n -я производная y = f ( x ). Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков. 3 3 , )(, , dx fd xf dx yd y 4 4 )4( , )(, , dx fd xf dx yd y n n n dx fd xf dx yd y, )(, , )()(

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной.  Если S = S ( t ) – расстояние,ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной. Если S = S ( t ) – расстояние, проходимое точкой за время t , то S ( t 0 ) – скорость в момент времени t 0 , S ( t 0 ) – ускорение в момент времени t 0 (скорость изменения скорости) Справедливы следующие утверждения. 1) ( C u ) ( n ) = C u ( n ) , где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак n -й производной» . 2) Производная n-го порядка суммы ( разности ) функций равна сумме ( разности ) n-х производных слагаемых , т. е. ( u v ) ( n ) = u ( n ) v ( n ). 3) n — я производная произведения находится по формуле Лейбница : где u (0) = u , v (0) = v. , )( )()( 0 )(kkn n k k n n vu. Cvu

2. Дифференциалы высших порядков  Пусть y = f ( x ) дифференцируема на2. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f ( x ) дифференцируема на множестве X 1 D( f ). Дифференциал dy = f ( x ) dx – функция двух переменных x и dx = x. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной x. Дифференциал функции dy ( x ) (если он существует) называется дифференциалом второго порядка функции y = f ( x ) (или вторым дифференциалом функции y = f ( x ) ) и обозначается d 2 y , d 2 f ( x ). d 2 y – функция переменной x. Дифференциал функции d 2 y (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции y = f ( x ) (или третьим дифференциалом функции y = f ( x ) ) и обозначается d 3 y , d 3 f ( x ).

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции  y = f (Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции y = f ( x ) как дифференциал от диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d n y , d n f ( x ). Замечание. Значение дифференциала n -го порядка функции f ( x ) в точке x 0 обозначают d n y ( x 0 ), d n f ( x 0 ). Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция имеет дифференциал порядка n , то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференциала n -го порядка и n -й производной). Функция y = f ( x ) n раз дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную порядка n. При этом для d n y ( x 0 ) справедливо равенство d n y ( x 0 ) = f ( n ) ( x 0 ) ( dx ) n. (2)

Замечания. 1) Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают,  т. е. Замечания. 1) Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают, т. е. записывают ее в виде: d n y ( x 0 ) = f ( n ) ( x 0 ) dx n. (3) 2) Из формулы (3) получаем, что n -я производная y ( n ) = f ( n ) ( x ) является отношением 2 -х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь. 3) Дифференциалы порядка n ( n > 1) не обладают свойством инвариантности. Т. е. формула (3) не будет верной, если x – функция. . )( )()( n n nn dx yd xfy n n dx yd )(

§ 4. Использование производной при вычислении пределов  ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя).  Пусть§ 4. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0 ℝ и выполняются следующие условия: 1) функции f ( x ) и ( x ) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0 , за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f ( x ) и ( x ) дифференцируемы в U*( x 0 , ) , причем ( x ) 0 , x U*( x 0 , ). Тогда, если (конечный или бесконечный), то причем эти два предела будут равны. Т. е. 0)(lim 00 xxf xxxx ; )(limили 00 xxfxxxx )( )( lim 0 x xf xx , )( )( lim 0 x xf xx )( )( lim 00 x xf xxxx

Замечания. 1) Если  f ( x )  и ( x ) тожеЗамечания. 1) Если f ( x ) и ( x ) тоже являются б. м. (б. б. ) при x x 0 , то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти )( )( lim 0 x xf xx )( )( lim 0 x xfxx x xsin 1 sin lim

§ 5.  Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ.§ 5. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f ( x ) называется возрастающей ( неубывающей ) на интервале ( a ; b ) если x 1 , x 2 ( a ; b ) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f ( x ) называется возрастающей на ( a ; b ), если большему значению аргумента из ( a ; b ) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f ( x ) называется убывающей ( невозрастающей ) на интервале ( a ; b ) если x 1 , x 2 ( a ; b ) таких, что x 1 f ( x 2 ) ( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f ( x ) называется убывающей на ( a ; b ), если большему значению аргумента из ( a ; b ) соответ- ствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условияИнтервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ). Тогда 1) если y = f ( x ) возрастает ( убывает ) на ( a ; b ) , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна) , т. е. f ( x ) 0 , x ( a ; b ) ( f ( x ) 0 , x ( a ; b ) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2) если f ( x ) > 0 , x ( a ; b ) ( f ( x ) < 0 , x ( a ; b ) ) , то функция y = f ( x ) на ( a ; b ) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции)

2. Экстремумы функции Пусть x 0 D( f ), x 0  – внутренняя2. Экстремумы функции Пусть x 0 D( f ), x 0 – внутренняя точка D( f ) (т. е. существует не- которая окрестность точки x 0 , целиком лежащая во мно- жестве D( f )). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой максимума функции f ( x ) если существует такая -окрестность U( x 0 , ) точки x 0 , что f ( x ) f ( x 0 ) , x U*( x 0 , ). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.

Замечания : 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшееЗамечания : 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x 0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины « глобальный максимум ( минимум )» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и « локальный максимум ( минимум )» – вместо максимум (минимум) функции.

2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем,2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов. 1 x 2 x x y

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть  x 0  – точкаТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x 0 – точка экстремума функции f ( x ) – диф- ференцируема в точке x 0. Тогда f ( x 0 ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x 0 – точка экстремума функции f ( x ) и кривая y = f ( x ) имеет невертикальную касательную в точке M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) , то эта касательная – горизонтальная. Точки, в которых производная функции f ( x ) равна нулю, называются стационарными точками функции f ( x ). 0 x xy

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума).  Пусть x 0 – внутренняя точка D( fТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D( f ) , f ( x ) непрерывна в U( x 0 , ) f ( x ) дифференцируема в U( x 0 , ) или U*( x 0 , ). Если при переходе через точку x 0 производная функции f ( x ) меняет знак, то x 0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x 0 – точка минимума. Замечание. Из теоремы 3 точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f ( x ) и точки, в которых f ( x ) не существует, называются критическими точками I рода ( критическими точками по первой производной ).

3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба  ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Пусть  ℓ3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ℓ – кривая , M 0 – точка кривой , причем в M 0 существует невертикальная касательная к ℓ. Кривую ℓ называют выпуклой в точке M 0 , если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит ниже касательной , проведенной к ℓ в точке M 0. Кривую ℓ называют вогнутой в точке M 0 , если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит выше касательной , проведенной к ℓ в точке M 0. 0 M

Точки кривой ,  которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки ,  называютсяТочки кривой , которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки , называются точками перегиба кривой. Замечания. 1) Выпуклость и вогнутость кривой в точке – локальные понятия. Они определяют относительное расположение точек кривой и касательной вблизи точки касания. В точках, удаленных от точки касания, кривая и касательная могут располагаться произвольным образом. 2) В точке перегиба касательная к кривой (если она существует) пересекает кривую (кривая переходит с одной стороны касательной на другую).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Кривая  y = f ( x ) называется выпуклой  (ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривая y = f ( x ) называется выпуклой ( вогнутой ) на интервале ( a ; b ) если x ( a ; b ) кривая выпукла ( вогнута ) в соответствующей точке M ( x ; f ( x )). Замечания. 1) Если M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) – точка перегиба кривой y = f ( x ), то x 0 – внутренняя точка области определения функции f ( x ). 2) Точками перегиба кривой y = f ( x ) часто называют точки, которые разделяют интервалы выпуклости и вогнутости этой кривой (т. е. абсциссы точек перегиба кривой y = f ( x )).

ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции).  Пусть функция ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть функция y = f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a ; b ). Тогда : 1) если кривая y = f ( x ) выпукла ( вогнута ) на интервале ( a ; b ), то f ( x ) 0 ( f ( x ) 0), x ( a ; b ) (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой); 2) если f ( x ) 0) x ( a ; b ), то кривая y = f ( x ) выпукла ( вогнута ) на интервале ( a ; b ) (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).

СЛЕДСТВИЕ 6 (необходимое условие перегиба кривой y = f ( x )).  ПустьСЛЕДСТВИЕ 6 (необходимое условие перегиба кривой y = f ( x )). Пусть функция y = f ( x ) дважды дифференцируема в U( x 0 , ) ( или в U*( x 0 , ) ). Если M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) – точка перегиба кривой y = f ( x ), то f ( x 0 ) = 0 или в точке x 0 функция y = f ( x ) не имеет второй производной. Замечание. Точки, в которых вторая производная функции y = f ( x ) обращается в ноль или имеет разрыв, называют иногда критическими точками II рода функции y = f ( x ) (или критическими точками функции y = f ( x ) по второй производной ). ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие перегиба кривой y = f ( x )). Пусть x 0 – внутренняя точка D( f ) и функция f ( x ) дважды дифференцируема в U*( x 0 , ). Если при переходе через точку x 0 функция f ( x ) меняет знак , то точка M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) является точкой перегиба кри- вой y = f ( x ).

4. Асимптоты кривой  ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Прямая  ℓ называется асимптотой кривой , 4. Асимптоты кривой ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая ℓ называется асимптотой кривой , если при неограниченном удалении точки M кривой от начала координат расстояние от точки M до прямой ℓ стремится к нулю. Замечание. Выделяют два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y = f ( x ) не пересекает (почему? ), наклонные – может пересекать.

ТЕОРЕМА 8 (необходимое и достаточное условие существова- ния наклонной асимптоты кривой y = fТЕОРЕМА 8 (необходимое и достаточное условие существова- ния наклонной асимптоты кривой y = f ( x )). Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f ( x ) существуют конечные пределы (или ). Замечания. 1) Из теоремы 8 следует, что график функции y = f ( x ) может иметь наклонную асимптоту только если функция определена в окрестности + или – . Причем, наклонных асимптот у кривой y = f ( x ) может быть не более двух: для правой ветви (т. е. при x + ) и для левой ветви (т. е. при x – ). 2) Если , то наклонная асимптота имеет уравнение y = b , т. е. является горизонтальной. bkxxfk x xf xx ])([limи )( lim bxf xx )(limи 0 )( lim )()(

ТЕОРЕМА 9 (необходимое и достаточное условие существова- ния вертикальной асимптоты кривой y = fТЕОРЕМА 9 (необходимое и достаточное условие существова- ния вертикальной асимптоты кривой y = f ( x )). Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f ( x ) точка x = a является точкой разрыва II рода функции y = f ( x ), причем , хотя бы один из односторонних пределов f ( a – 0), f ( a + 0) равен бесконечности.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать четность и периодичность функции.СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать четность и периодичность функции. 3. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты. 4. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно). 5. Найти точки пересечения графика с осями координат. 6. Найти f ( x ) . Определить точки экстремума, интервалы воз- растания и убывания функции. 7. Найти f ( x ). Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости. 8. Построить график функции.